Question

【题目】已知抛物线y＝x2．

（1）在抛物线上有一点A(1，1)，过点A的直线l与抛物线只有一个公共点，直接写出直线l的解析式；

（2）如图1，抛物线有两点F、G，连接FG交y轴于M，过G作x轴的垂线，垂足为H，连接HM、OF，求证：OF∥MH；

（3）将抛物线y＝x2沿直线y＝x移动，新抛物线的顶点C，与直线的另一个交点为B，与y轴的交点为D，作直线x＝4与直线CD、BD交于点N、E，如图2，求EN的长．

Answer 1

【答案】（1）y＝2x﹣1；（2）证明见解析；（3）EN＝3．

【解析】

（1）设直线方程为y＝kx+b，将点A代入找到k,b的关系，联立抛物线与直线l的表达式并整理得：x2﹣kx+k﹣1＝0，△＝k2﹣4k+4＝0，即可求解；

（2）设F（a，a2），G（b，b2），所以直线FG的解析式为y＝（a+b）x﹣ab，M（0，﹣ab），H（b，0），所以直线MH的解析式为＝ax﹣ab，直线OF的解析式为y＝ax，

所以OF∥MH；

（3）设新抛物线的解析式为y＝（x﹣4m）2+3m，联立y＝（x﹣4m）2+3m，y＝x，得＝4m，＝4m+，D（0，16m2+3m），所以直线BD的解析式为y＝（﹣4m）x+16m2+3m，直线CD的解析式为y＝﹣4mx+16m2+3m．当x＝4时，＝﹣13m+16m2+3，＝﹣13m﹣16m2，即可求解．

解：（1）设直线l的表达式为：y＝kx+b，

将点A（1，1）的坐标代入上式得

解得

∴直线l的表达式为：y＝kx+1﹣k，

整理得：x2﹣kx+k﹣1＝0，

＝k2﹣4k+4＝0，解得：k＝2，

故直线l的表达式为：y＝2x﹣1；

（2）设F（a，a2），G（b，b2），

设直线FG的解析式为

将点F,G代入解析式中得

解得

∴直线FG的解析式为y＝（a+b）x﹣ab，

∴M（0，﹣ab），H（b，0）．

设直线MH的解析式为

将点M,H代入解析式中得

解得

∴直线MH的解析式为＝ax﹣ab，

设直线OF的解析式为

将点F代入解析式中得

解得

∴直线OF的解析式为y＝ax，

所以OF∥MH；

（3）设新抛物线的解析式为y＝（x﹣4m）2+3m，与直线 联立得

解得＝4m，＝4m+，

∴，

∴

当 时，

∴D（0，16m2+3m），

设直线BD的解析式为

将点B,D代入解析式中得

解得

所以直线BD的解析式为y＝（﹣4m）x+16m2+3m，

设直线CD的解析式为

将点C,D代入解析式中得

解得

直线CD的解析式为y＝﹣4mx+16m2+3m．

当x＝4时，＝﹣13m+16m2+3，＝﹣13m﹣16m2，

所以EN＝3．