精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
如图,点P在y轴上,⊙P交x轴于A,B两点,连接BP并延长交⊙P于C,过点C的直线y=2x+b交x轴于D,且⊙P的半径为
5
,AB=4.
(1)求点B,P,C的坐标;
(2)求证:CD是⊙P的切线;
(3)若二次函数y=-x2+(a+1)x+6的图象经过点B,求这个二次函数的解析式,并写出使二次函数值小于一次函数y=2x+b值的x的取值范围.
(1)如图,连接CA.
∵OP⊥AB,
∴OB=OA=2.(1分)
∵OP2+BO2=BP2
∴OP2=5-4=1,OP=1.(2分)
∵BC是⊙P的直径,
∴∠CAB=90°.(也可用勾股定理求得下面的结论)
∵CP=BP,OB=OA,
∴AC=2OP=2.(3分)
∴B(2,0),P(0,1),C(-2,2).(写错一个不扣分)(4分)

(2)证明:∵y=2x+b过C点,
∴b=6∴y=2x+6.(5分)
∵当y=0时,x=-3,
∴D(-3,0).
∴AD=1.(6分)
∵OB=AC=2,AD=OP=1,∠CAD=∠POB=90°,
∴△DAC≌△POB.
∴∠DCA=∠ABC.
∵∠ACB+∠CBA=90°,
∴∠DCA+∠ACB=90°.(也可用勾股定理逆定理证明)(7分)
∴DC是⊙P的切线.(8分)

(3)∵y=-x2+(a+1)x+6过B(2,0)点,
∴0=-22+(a+1)×2+6.
∴a=-2.(9分)
∴y=-x2-x+6.(10分)
因为函数y=-x2-x+6与y=2x+6的图象交点是(0,6)和点D(-3,0)(画图可得此结论)(11分)
所以满足条件的x的取值范围是x<-3或x>0.(12分)
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源:不详 题型:填空题

如图,三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形,两小孔形状、大小都相同.正常水位时,大孔水面宽度AB=20m,顶点M距水面6m(即MO=6m),小孔顶点N距水面4.5m(即NC=4.5m).当水位上涨刚好淹没小孔时,借助图中的平面直角坐标系,则此时大孔的水面宽度EF为______m.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,直角梯形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为(
1
2
,0)、(2,0)和(2,3),ABCD,∠C=90°,CD=CB.
(1)求点D的坐标;
(2)抛物线y=ax2+bx+c过原点O与点(7,1),且对称轴为过点(4,3)与y轴平行的直线,求抛物线的函数关系式;
(3)在(2)中的抛物线上是否存在一点P,使得PA+PB+PC+PD最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,已知直线y=-
1
2
x+1交坐标轴于A,B两点,以线段AB为边向上作正方形ABCD,过点A,D,C的抛物线与直线的另一个交点为E.
(1)直接写出点C和点D的坐标,C(______)、D(______);
(2)求出过A,D,C三点的抛物线的解析式.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,直线y=kx+b,与抛物线y=ax2交于A(1,m),B(-2,4)+y轴交与点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求S△AOB
(3)求
BC
AC
的值;
(4)判断点A是否在以BO为直径的圆上?并说明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(7,0),点B的坐标为(3,4),
(1)求经过O、A、B三点的抛物线解析式;
(2)将线段AB绕A点顺时针旋转75°至AC,直接写出点C的坐标;
(3)在y轴上找一点P,第一象限找一点Q,使得以O、B、Q、P为顶点的四边形是菱形,求出点Q的坐标;
(4)△OAB的边OB上有一动点M,过M作MNOA交AB于N,将△BMN沿MN翻折得△DMN.设MN=x,△DMN与△OAB重叠部分的面积为y,求出y与x之间的函数关系式,并求出重叠部分面积的最大值.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,已知抛物线经过点B(-2,3),原点O和x轴上另一点A,它的对称轴与x轴交于点C(2,0).
(1)求此抛物线的函数关系式;
(2)连接CB,在抛物线的对称轴上找一点E,使得CB=CE,求点E的坐标;
(3)在(2)的条件下,连接BE,设BE的中点为G,在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△PBG的周长最小?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

今年,6月12日为端午节.在端午节前夕,三位同学到某超市调研一种进价为2元的粽子的销售情况.请根据小丽提供的信息,解答小华的问题.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

一直线y1=x+b与抛物线y2=x2+c的交点为A(3,5)和B.
(1)求出b、c和点B的坐标;
(2)画出草图,根据图象同答:当x在什么范围时y1≤y2

查看答案和解析>>

同步练习册答案