Question

4．如图，抛物线y=ax²+bx-5（a≠0）与x轴交于点A（-5，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点E为x轴下方抛物线上的一动点，当S_△ABE=S_△ABC时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使∠BAP=∠CAE？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A、B两点的坐标代入，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）当S_△ABE=S_△ABC时，可知E点和C点的纵坐标相同，可求得E点坐标；
（3）在△CAE中，过E作ED⊥AC于点D，可求得ED和AD的长度，设出点P坐标，过P作PQ⊥x轴于点Q，由条件可知△EDA∽△PQA，利用相似三角形的对应边可得到关于P点坐标的方程，可求得P点坐标．

解答 解：
（1）把A、B两点坐标代入解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{25a-5b-5=0}\\{9a+3b-5=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{3}}\\{b=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x-5；
（2）在y=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x-5中，令x=0可得y=-5，
∴C（0，-5），
∵S_△ABE=S_△ABC，且E点在x轴下方，
∴E点纵坐标和C点纵坐标相同，
当y=-5时，代入可得$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x=-5，解得x=-2或x=0（舍去），
∴E点坐标为（-2，-5）；
（3）假设存在满足条件的P点，其坐标为（m，$\frac{1}{3}$m²+$\frac{2}{3}$m-5），
如图，连接AP、CE、AE，过E作ED⊥AC于点D，过P作PQ⊥x轴于点Q，

则AQ=AO+OQ=5+m，PQ=|$\frac{1}{3}$m²+$\frac{2}{3}$m-5|，
在Rt△AOC中，OA=OC=5，则AC=5$\sqrt{2}$，∠ACO=∠DCE=45°，
由（2）可得EC=2，在Rt△EDC中，可得DE=DC=$\sqrt{2}$，
∴AD=AC-DC=5$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$，
当∠BAP=∠CAE时，则△EDA∽△PQA，
∴$\frac{ED}{AD}$=$\frac{PQ}{AQ}$，即$\frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}$=$\frac{|\frac{1}{3}{m}^{2}+\frac{2}{3}m-5|}{5+m}$，
∴$\frac{1}{3}$m²+$\frac{2}{3}$m-5=$\frac{1}{4}$（5+m）或$\frac{1}{3}$m²+$\frac{2}{3}$m-5=-$\frac{1}{4}$（5+m），
当$\frac{1}{3}$m²+$\frac{2}{3}$m-5=$\frac{1}{4}$（5+m）时，整理可得4m²+5m-75=0，解得m=$\frac{15}{4}$或m=-5（与A点重合，舍去），
当$\frac{1}{3}$m²+$\frac{2}{3}$m-5=-$\frac{1}{4}$（5+m）时，整理可得4m²+11m-45=0，解得m=$\frac{9}{4}$或m=-5（与A点重合，舍去），
∴存在满足条件的点P，其横坐标为$\frac{9}{4}$或$\frac{15}{4}$．

点评 本题主要考查二次函数的综合运用．涉及到的知识点有待定系数法、三角形的面积、相似三角形的判定和性质及分类讨论等．在（3）中利用∠BAP=∠CAE构造三角形相似是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性很强，难度适中．