Question

15．如图，半径为5的⊙O₁，交直线y=x+2于A（0，2），C两点，交y轴与B（0，10），CD是⊙O₁的直径，若函数y=$\frac{k}{x}$（x＜0）的图象经过点D，求k的值．

Answer 1

分析 根据题意首先结合已知得出AB的长，再得出O₁的坐标，再利用勾股定理得出C点坐标，再利用C，D关于点O₁的对称得出D点坐标，进而得出答案．

解答 解：过O₁点做BA的垂线，交与F点，有O₁F⊥AB，连接O₁B，
由方程y=x+2得交点A的坐标为（0，2），
由于B点的坐标为（0，10），
所以BA=8，
又∵BF=AF，O₁B=5，
∴O₁F=3，
所以O₁点的横坐标为3，
纵坐标为：O₁A+AF=2+4=6，
故O₁的坐标为（3，6），
设C点坐标为：（x，x+2），
所以（x-3）²+（x+2-6）²=25，
解得：x₁=7，x₂=0（不合题意舍去），
故点C的坐标为：（7，9）
由于C（7，9），D（m，n）两点关于O（3，6）点对称，
则7-3=3-m，9-6=6-n
解得：m=-1，n=3，所以D的坐标为（-1，3），
又因为反比例函数y=$\frac{k}{x}$过点D，
所以代入函数得：k=-3．

点评 此题主要考查了反比例函数综合以及勾股定理和圆的性质等知识，根据题意得出C点坐标是解题关键．