Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC.在平面内任取一点D，连接AD（AD<AB），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接DE，CE，BD.

（1）请根据题意补全图①；

（2）猜测BD和CE的数量关系并证明；

（3）作射线BD，CE交于点P，把△ADE饶点A旋转，当∠EAC=90°，AB=3，AD=2时，补全图形，直接写出PB的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；

（2）BD和CE的数量是：BD=CE；理由见解析；

（3）图见解析；PB的长是或.

【解析】

（1）根据旋转的定义即可补全图形；

（2）根据题意证明△ABD≌△ACE即可解决问题；

（3）①根据题意证明△ACE≌△ABD，得到∠ACE=∠ABD，再根据两角对应相等得到△BPE∽△BAD,再根据对应线段成比例即可求解；②同理△BPE∽△BAD，求出

解：（1）补全图，如图；

（2）BD和CE的数量是：BD=CE；

∵∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE=90°，

∴∠DAB=∠CAE，

∵AD=AE，AB=AC，

∴△ABD≌△ACE，

∴BD=CE；

（3）结论：PB的长是.或

理由：①如图②

由△ACE≌△ABD，可知：∠ACE=∠ABD，

∵∠AEC=∠BEP，

∴∠BPE=∠EAC=90°，

∵∠PBE=∠ABD，

∴△BPE∽△BAD，

∴,

∵AB=AC=3，AD=AE=2，∴BE=AB-AE=AB-AD=1，

BD=EC==

∴

∴BP=

②如图③，同理△BPE∽△BAD，

∴,

∵AB=AC=3，AD=AE=2，∴BE=AB+AE=AB+AD=5，

BD=EC==

∴

∴.BP=