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【题目】如图,在四边形ABCD中,ABBC1CDDA1,且∠B90°.求:

1)∠DAC的度数;

2)四边形ABCD的面积(结果保留根号);

3)将△ABC沿AC翻折至△AB′C,如图所示,连接B′D,求△AB′D的面积.

【答案】1)∠DAC=90°;(2;(3

【解析】

1)由于AB=BC=1,且∠B=90°根据勾股定理即可求出AC的长度,而CD=DA=1,利用勾股定理的逆定理即可证明△ACD是直角三角形,由此即可求出∠DAC的度数;
2)首先把求四边形ABCD的面积分割为求△ABC和△ACD的面积,然后利用三角形的面积公式可以分别求出这两个三角形的面积,最后就可以求出四边形ABCD的面积;

3)作出△AB′D的边AB′边上的高DE,证明△ADE为等腰直角三角形,从而利用勾股定理可求出DE的长,进一步可得出△AB′D的面积.

解:(1)∵ABBC1,∠B90°

∴∠BAC=∠ACB45°AC

又∵CDDA1

AC2DA2CD2

∴△ADC为直角三角形,∠DAC90°

2)∵SABCAB·BC

SADCAD·AC

S四边形ABCDSABCSADC

3)过点DDEAB′,垂足为E

由(1)知∠DAC90°

根据折叠可知∠B′AC=∠BAC45°ABAB′1SAB′CSABC

∠DAE∠DAC∠B′AC45°,∴∠DAE=AED=45°,

AEDE

RtADE中,AE2DE2AD2

2DE21.∴DE

SADB′×AB′×DE=×1×

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∴∠1=∠3   

又∵HGCD(已知)

∴∠2=∠4

ABCD(已知)

∴∠BEF+   180°   

又∵EG平分∠BEF(已知)

∴∠1   

又∵FG平分∠EFD(已知)

∴∠2   

∴∠1+2   

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∴∠3+490°   即∠EGF90°

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