Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于E，交BC于D．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）求证：△BEC∽△ADC；
（3）若CE=5，BD=6.5，求AB的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,圆周角定理

专题：

分析：（1）根据圆周角定理的推论得到∠BDA=90°，再根据等腰三角形的性质即可得到BD=CD；
（2）根据有两对角相等的两个三角形相似证明即可；
（3）由（2）中的三角形相似可得到关于AC的比例式，AC可求，进而求出AB的长．

解答：（1）证明：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BDA=90°，
∴AD⊥BC．
∵AB=AC．
∴BD=CD，
∴D是BC的中点；
（2）∵AB=AC，
∴∠C=∠ABD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=∠BEC=90°，
∴△BEC∽△ADC；
（3）∵△BEC∽△ADC，
∴CE：BD=BC：AC，
∵CE=5，BD=6.5，
∴BC=2BD=13，
∴5：6.5=13：AC，
∴AC=16.9，
∴AB=AC=16.9．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质以及圆周角定理的推论：直径所对的圆周角为直角．也考查了等腰三角形的性质．