Question

【题目】如图所示，△ABC中，D是BC中点，E是AD中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，连接BF.

(1)判断并证明四边形AFBD的形状；

(2)当ΔABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形，证明你的结论.

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）见解析

【解析】

（1）由于E是AD中点，则AE=DE，而AF∥BC，那么∠FAE=∠CDE，又∠AEF=∠DEC，利用ASA可证△AFE≌△DCE，于是有AF=CD，又AD是中线，则BD=CD，等量代换有AF=BD；
（2）结论：AB=AC．由（1）知四边形AFBD是平行四边形，而AB=AC，AD是中线，利用等腰三角形三线合一定理，可证AD⊥BC，即∠ADB=90°，那么可证四边形AFBD是矩形.

解：（1）四边形AFBD是平行四边形．

理由如下：∵点E是AD的中点，

∴AE=DE，

又∵AF∥BD，

∴∠FAE=∠CDE，

又∵∠FEA=∠CED，

∴△AFE≌△DCE（ASA），

∴AF=CD，

又∵AD是BC边上的中线，

∴BD=CD，

∴AF=BD，

∵AF∥BD，

∴四边形AFBD是平行四边形．

（2）当AB=AC时，四边形AFBD是矩形．

理由如下：

∵AB=AC，BD=CD，

∴AD⊥BC，

∴∠ADB=90°，

∵四边形AFBD为平行四边形，

∴四边形AFBD为矩形．