Question

如图，已知AB是⊙O直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C作⊙O的切线与ED的延长线交于点P．
（1）求证：PC=PG；
（2）点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若点G是BC的中点，试探究CG、BF、BO三者之间的数量关系，并写出证明过程；
（3）在满足（2）的条件下，已知⊙O的半径为5，若点O到BC的距离为时，求弦ED的长．

Answer 1

（1）证明：连结OC，如图，
∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠OCG+∠PCG=90°，
∵ED⊥AB，
∴∠B+∠BGF=90°，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCG，
∴∠PCG=∠BGF，
而∠BGF=∠PGC，
∴∠PGC=∠PCG，
∴PC=PG；

（2）解：CG、BF、BO三者之间的数量关系为CG²=BO•BF．理由如下：
连结OG，如图，
∵点G是BC的中点，
∴OG⊥BC，BG=CG，
∴∠OGB=90°，
∵∠OBG=∠GBF，
∴Rt△BOG∽Rt△BGF，
∴BG：BF=BO：BG，
∴BG²=BO•BF，
∴CG²=BO•BF；

（3）解：连结OE，如图，
由（2）得BG⊥BC，
∴OG=，
在Rt△OBG中，OB=5，
∴BG==2，
由（2）得BG²=BO•BF，
∴BF==4，
∴OF=1，
在Rt△OEF中，EF==2，
∵AB⊥ED，
∴EF=DF，
∴DE=2EF=4．
分析：（1）连结OC，根据切线的性质得OC⊥PC，则∠OCG+∠PCG=90°，由ED⊥AB得∠B+∠BGF=90°，而∠B=∠OCG，所以∠PCG=∠BGF，根据对顶角相等得∠BGF=∠PGC，
于是∠PGC=∠PCG，所以PC=PG；
（2）连结OG，由点G是BC的中点，根据垂径定理的推论得OG⊥BC，BG=CG，易证得Rt△BOG∽Rt△BGF，则BG：BF=BO：BG，即BG²=BO•BF，把BG用CG代换得到CG²=BO•BF；
（3）解：连结OE，OG=OG=，在Rt△OBG中，利用勾股定理计算出BG=2，再利用BG²=BO•BF可计算出BF，从而得到OF=1，在Rt△OEF中，根据勾股定理计算出EF=2，由于AB⊥ED，根据垂径定理可得EF=DF，于是有DE=2EF=4．
点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了垂径定理以及推论、勾股定理以及三角形相似的判定与性质．