Question

2．如图，在?ABCD中，AB：BC=2：3，点E、F分别在边CD、BC上，点E是边CD的中点，CF=2BF，∠A=120°，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，那么$\frac{AP}{AQ}$的值为$\frac{2\sqrt{39}}{13}$．

Answer 1

分析 如图，连接AE、AF，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，作DH⊥BC于H，EG⊥BC于G，设AB=2a．BC=3a．根据$\frac{1}{2}$•AP•BE=$\frac{1}{2}$•DF•AQ，利用勾股定理求出BE、DF即可解决问题．

解答 解：如图，连接AE、AF，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，作DH⊥BC于H，EG⊥BC于G，设AB=2a．BC=3a．

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，∠BAD=∠BCD=120°，
∴S_△ABE=S_△ADF=$\frac{1}{2}$S_{平行四边形ABCD}，
在Rt△CDH中，∵∠H=90°，CD=AB=2a，∠DCH=60°，
∴CH=a，DH=$\sqrt{3}$a，
在Rt△DFH中，DF=$\sqrt{F{H}^{2}+D{H}^{2}}$=$\sqrt{（3a）^{2}+（\sqrt{3}a）^{2}}$=2$\sqrt{3}$a，
在Rt△ECG中，∵CE=a，
∴CG=$\frac{1}{2}$a，GE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
在Rt△BEG中，BE=$\sqrt{B{G}^{2}+E{G}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{7}{2}a）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}a）^{2}}$=$\sqrt{13}$a，
∴$\frac{1}{2}$•AP•BE=$\frac{1}{2}$•DF•AQ，
∴$\frac{AP}{AQ}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$=$\frac{2\sqrt{39}}{13}$，
故答案为$\frac{2\sqrt{39}}{13}$．

点评 本题考查平行四边形的性质、勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是利用面积法求线段的长，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．