Question

（2012•泰州一模）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为CD的中点，点P为BC上的动点，当CP=

8

3

时，△APE的周长最小．

Answer 1

分析：延长AB到M，使BM=AB，则A和M关于BC对称，连接EM交BC于P，此时AP+EP的值最小，根据勾股定理求出AE长，根据矩形性质得出AB∥CD，推出△ECP∽△MBP，得出比例式，代入即可求出CP长．

解答：解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°=∠ABC，AB=CD=4，BC=AD=8，
∵E为CD中点，
∴DE=CE=2，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE=

82+22

=2

17

，
即△APE的边AE的长一定，
要△APE的周长最小，只要AP+PE最小即可，
延长AB到M，使BM=AB=4，则A和M关于BC对称，
连接EM交BC于P，此时AP+EP的值最小，
AP+PE=EM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴△ECP∽△MBP，
∴

CE

BM

=

CP

BP

，
∴

2

4

=

CP

8-CP

，
解得：CP=

8

3

，
故答案为：

8

3

．

点评：本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的性质和判定等知识点，关键是找出符合条件的P点的位置，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．