Question

4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC分别交AD、BC于F、E．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB=2cm，BC=4cm，求四边形AECF的面积．

Answer 1

分析 （1）首先利用平行四边形的性质得出AO=CO，∠AFO=∠CEO，进而得出△AFO≌△CEO，再利用平行四边形和菱形的判定得出即可；
（2）由菱形的性质得出AE=CE，设CE=xcm，则AE=xcm，BE=（4-x）cm，在Rt△ABE中，由勾股定理得出方程，解方程求出CE，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=CO，AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠AFO=∠CEO，
在△AFO和△CEO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFO=∠CEO}&{\;}\\{∠FOA=∠EOC}&{\;}\\{AO=CO}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AFO≌△CEO（AAS），
∴FO=EO，
∴四边形AECF平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形．
（2）解：∵四边形AECF是菱形，
∴AE=CE，
设CE=xcm，则AE=xcm，BE=（4-x）cm，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：2²+（4-x）²=x²，
解得：x=$\frac{5}{2}$，
∴CE=$\frac{5}{2}$cm，
∴四边形AECF的面积=$\frac{5}{2}$×2=5（cm²）．

点评 此题主要考查了矩形的性质、菱形的判定、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．