已知抛物线l:y=(x-h)2-4(1)如图1.当抛物线l恰好经过点P时.l与x轴从左到右的交点为A.B.与y轴交于点C．①求l的解析式.并写出l的对称轴及顶点坐标．②在l上是否存在点D.使S△ABD=S△ABC.若存在.请求出D点坐标.若不存在.请说明理由．③点M是l上任意一点.过点M做ME垂直y轴于点E.交直线BC于点D.过点D作x轴的垂线.垂足为F.连接EF.当线段EF� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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19．已知抛物线l：y=（x-h）²-4（h为常数）
（1）如图1，当抛物线l恰好经过点P（1，-4）时，l与x轴从左到右的交点为A、B，与y轴交于点C．
①求l的解析式，并写出l的对称轴及顶点坐标．
②在l上是否存在点D，使S_△ABD=S_△ABC，若存在，请求出D点坐标，若不存在，请说明理由．
③点M是l上任意一点，过点M做ME垂直y轴于点E，交直线BC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点M的坐标．
（2）设l与双曲线y=$\frac{-9}{x}$有个交点横坐标为x₀，且满足3≤x₀≤5，通过l位置随h变化的过程，直接写出h的取值范围．

分析（1）①将P（1，-4）代入得到关于h的方程，从而可求得h的值，可得到抛物线的解析式，然后依据抛物线的解析式可直接得到抛物线的对称轴和顶点坐标；②先求得OC的长，然后由三角形的面积公式可得到点D的纵坐标为3或-3，最后将y的值代入求得对应的x的值即可；③先证明四边形OEDF为矩形，则DO=EF，由垂线的性质可知当OD⊥BC时，OD有最小值，即EF有最小值，然后由中点坐标公式可求得点D的坐标，然后可的点M的纵坐标，由函数的关系式可求得点M的横坐标；
（2）抛物线y=（x-h）²-4的顶点在直线y=-4上，然后求得当x=3和x=5时，双曲线对应的函数值，得到点A和点B的坐标，然后分别求得当抛物线经过点A和点B时对应的h的值，然后画出平移后的图象，最后依据图象可得到答案．

解答解：（1）①将P（1，-4）代入得：（1-h）²-4=-4，解得h=1，
∴抛物线的解析式为y=（x-1）²-4．
∴抛物线的对称轴为x=1，顶点坐标为（1，-4）．
②将x=0代入得：y=-3，
∴点C的坐标为（0，-3）．
∴OC=3．
∵S_△ABD=S_△ABC，
∴点D的纵坐标为3或-3．
当y=-3时，（x-1）²-4=-3，解得x=2或x=0．
∴点D的坐标为（0，-3）或（2，-3）．
当y=3时，（x-1）²-4=3，解得：x=1+$\sqrt{7}$或x=1-$\sqrt{7}$．
∴点D的坐标为（1+$\sqrt{7}$，3）或（1-$\sqrt{7}$，3）．
综上所述，点D的坐标为（0，-3）或（2，-3）或（1+$\sqrt{7}$，3）或（1-$\sqrt{7}$，3）时，S_△ABD=S_△ABC．
③如图1所示：

∵∠EOF=∠OED=∠OFD=90°，
∴四边形OEDF为矩形．
∴DO=EF．
依据垂线段的性质可知：当OD⊥BC时，OD有最小值，即EF有最小值．
把y=0代入抛物线的解析式得：（x-1）²-4=0，解得x=-1或x=3，
∴B（3，0）．
∴OB=OC．
又∵OD⊥BC，
∴CD=BD．
∴点D的坐标（$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{2}$）．
将y=-$\frac{3}{2}$代入得：（x-1）²-4=-$\frac{3}{2}$，解得x=-$\frac{\sqrt{10}}{2}$+1或x=$\frac{\sqrt{10}}{2}$+1．
∴点M的坐标为（-$\frac{\sqrt{10}}{2}$+1，-$\frac{3}{2}$）或（$\frac{\sqrt{10}}{2}$+1，-$\frac{3}{2}$）．

（2）∵y=（x-h）²-4，
∴抛物线的顶点在直线y=-4上．
理由：对双曲线，当3≤x₀≤5时，-3≤y₀≤-$\frac{9}{5}$，即L与双曲线在A（3，-3），B（5，-$\frac{9}{5}$）之间的一段有个交点．
当抛物线经过点A时，（3-h）²-4=-3，解得h=2或h=4．
当抛物线经过点B时，（5-h）²-4=-$\frac{9}{5}$，解得：h=5+$\frac{\sqrt{55}}{5}$或h=5-$\frac{\sqrt{55}}{5}$．
随h的逐渐增加，l的位置随向右平移，如图所示．

由函数图象可知：当2≤h≤5-$\frac{\sqrt{55}}{5}$或4≤h≤5+$\frac{\sqrt{55}}{5}$时，抛物线与双曲线在3≤x₀≤5段有个交点．

点评本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求函数的关系式，矩形的性质和判定、垂线段的性质、函数图象的平移，画出平移后的函数的图象是解题的关键．

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