Question

20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC内接于⊙P，AB是⊙P的直径，A（-1，0）C（3，2$\sqrt{2}$），BC的延长线交y轴于点D，点F是y轴上的一动点，连接FC并延长交x轴于点E．
（1）求⊙P的半径；
（2）当∠A=∠DCF时，求证：CE是⊙P的切线．

Answer 1

分析 （1）作CG⊥x轴于G，根据勾股定理和射影定理即可得到结论；
（2）连接PC，由AB是⊙P的直径，得到∠ACB=90°根据等腰三角形的性质得到∠PCB=∠PBC，根据切线的判定定理即可得到结论．

解答 （1）解：作CG⊥x轴于G，
则AC²=AG²+CG²=（3+1）²+（2$\sqrt{2}$）²=24，
由射影定理得：AC²=AG•AB，
∴AB=$\frac{24}{4}$=6，
∴⊙P的半径为3；

（2）证明：连接PC，
∵AB是⊙P的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵PC=PB，
∴∠PCB=∠PBC，
∵∠A=∠DCF=∠ECB，
∴∠ECB+∠PCB=90°，
∵C在⊙P上，
∴CE是⊙P的切线．

点评 本题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，射影定理，正确的作出辅助线是解题的关键．