Question

8．在△ABC中，已知BD和CE分别是边AC、AB上的中线，且BD⊥CE，垂足为O．若OD=2cm，OE=4cm，则线段AO的长度为4$\sqrt{5}$cm．

Answer 1

分析 连接AO并延长，交BC于H，根据勾股定理求出DE，根据三角形中位线定理求出BC，根据直角三角形的性质求出OH，根据重心的性质解答．

解答 解：连接AO并延长，交BC于H，
由勾股定理得，DE=$\sqrt{O{E}^{2}+O{D}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵BD和CE分别是边AC、AB上的中线，
∴BC=2DE=4$\sqrt{5}$，O是△ABC的重心，
∴AH是中线，又BD⊥CE，
∴OH=$\frac{1}{2}$BC=2$\sqrt{5}$，
∵O是△ABC的重心，
∴AO=2OH=4$\sqrt{5}$，
故答案为：4$\sqrt{5}$．

点评 本题考查的是重心的概念和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．