Question

如图，已知在线段BC同侧作两个三角形△ABC和△DBC，使AB=AC，DB＞DC且AB+AC=DB+DC，设AC与DB交于E．
求证：AE＞DE．

Answer 1

证明：由已知可得2BD＞BD+DC=AB+AC=2AC，
∴BD＞AC，
在BD上截取DF=AC，连接AF、AD（如图）
∵BD+DC=2AC，
∴DC+BF=AC+AB，
∴在△BAF中，AF＞AB-BF=DC．
在△BAD与△ADF中，
AD=AD，AC=DF，AF＞CD，
∴∠1＞∠2，
∴AE＞DE．
分析：由已知可得BD＞AC，在BD上截取DF=AC，连接AF、AD，根据三角形三边关系可得AF＞CD，再由在两个三角形中，如果有两对应边分别相等，那么对边较大的，其夹角也较大，可得∠1＞∠2，再根据大角对大边即可证明AE＞DE．
点评：本题考查了三角形三边关系．解题的关键是作辅助线，构造有两对应边分别相等的两个三角形得出∠1＞∠2．