Question

15．已知，如图1，正方形ABCD和正方形BEFG，三点A、B、E在同一直线上，连接AG和CE，
（1）试确定线段 AG和线段CE有什么关系？并说明理由．
（2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否还成立？请说明理由．
（3）若在图2中连接AE和CG，且AE=7，CG=3，求正方形ABCD和正方形BEFG的面积之和．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出AB=CB，BG=BE，∠ABG=∠CBE=90°，由SAS证明△ABG≌△CBE，得出对应边相等AG=CE，∠BAG=∠BCE，由角的互余关系得出∠BAG+∠BEC=90°，得出∠AHE=90°，即可得出AG⊥CE；
（2）由正方形的性质得出AB=CB，BG=BE，∠ABG=∠CBE=90°，证出∠ABG=∠CBE，由SAS证明△ABG≌△CBE，得出AG=CE，由角的互余关系得出∠2+∠BCE=90°，得出∠AHC=90°，得出AG⊥CE；
（3）连接AC、EG，设AG、CE交点为H，由（2）得AG⊥CE，由勾股定理求出AC²+EG²=CG²+AE²，求出AC²+EG²，然后由正方形的面积等于对角线平方的一半求解即可．

解答 解：（1）AG=CE，且AG⊥CE．理由如下：
延长AG交CE于H，如图1所示：
∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，
∴AB=CB，BG=BE，∠ABG=∠CBE=90°，
在△ABG和△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}&{\;}\\{∠ABG=∠CBE}&{\;}\\{BG=BE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△CBE（SAS），
∴AG=CE，∠BAG=∠BCE，
∵∠BCE+∠BEC=90°，
∴∠BAG+∠BEC=90°，
∴∠AHE=90°，
∴AG⊥CE；
（2）AG=CE，且AG⊥CE仍然成立．理由如下：
如图2所示：
∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，
∴AB=CB，BG=BE，∠ABC=∠EBG=90°，
∵∠ABG=∠ABC+∠CBG，∠CBE=∠EBG+∠CBG，
∴∠ABG=∠CBE，
在△ABG和△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}&{\;}\\{∠ABG=∠CBE}&{\;}\\{BG=BE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△CBE（SAS），
∴AG=CE，∠BAG=∠BCE，
∵∠1+∠BAG=90°，
∴∠1+∠BCE=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠2+∠BCE=90°，
∴∠AHC=90°，
∴AG⊥CE；
（3）连接AC、EG，如图3所示：
由（2）得：AG⊥CE，
在Rt△CGH中，CG²=CH²+GH²，
在Rt△AEH中，AE²=AH²+EH²，
∴CG²+AE²=CH²+GH²+AH²+EH²=（CH²+AH²）+（GH²+EH²）=AC²+EG²，
∵AE=7，CG=3，
∴AC²+EG²=3²+7²=58，
∴正方形ABCD和正方形BEFG的面积之和=AB²+BE²=$\frac{1}{2}$（AC²+EG²）=$\frac{1}{2}$×58=29．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．