Question

如图长方体的长、宽、高分别是4、3、12，一只蚂蚁欲从长方体底面A 点沿长方体表面到C₁处吃食物，求它爬行的最短路径．现有三种路径可选择：路径1：将面ABB₁A₁与面A₁B₁C₁D₁置于同一平面，则点A、B、C₁确定了Rt△ABC₁，则其斜边AC₁为路径1（用L₁表示）；路径2：将面ADD₁A₁与面A₁B₁C₁D₁置于同一平面，则点A、D、C₁确定了Rt△ADC₁，则其斜边AC₁为路径2（用L₂表示）；路径3：将面ADD₁A₁与面DCC₁D₁置于同一平面，则点A、C、C₁确定了Rt△ACC₁，则其斜边AC₁为路径3（用L₃表示）；
（1）求L₁²=

 

，L₂²=

 

，L₃²=

 

，此时蚂蚁应选择路径较短．
（2）若其它条件不变，把长方体的高变为2，则L₁²=

 

，L₂²=

 

，L₃²=

 

，此时蚂蚁应选择路径较短．

Answer 1

考点：平面展开-最短路径问题

专题：几何图形问题,分类讨论

分析：做此题要把这个长方体中，蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算．

解答：解：（1）如图1所示：L₁²=3²+16²=265，
如图2所示：L₂²=4²+15²=241，
如图3所示：L₃²=12²+7²=191；
故此时蚂蚁应选择路径3较短．
故答案为：265，241，191；

（2）利用（1）所求方法即可得出：
L₁²=3²+6²=45，
L₂²=4²+5²=41，
L₃²=2²+7²=53；
故此时蚂蚁应选择路径2较短．
故答案为：45，41，53；

点评：本题考查了平面展开-最短路径问题，“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．