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    三等分角

    “三等分角”是数学史上一个著名问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法(如下图)．将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上、边OA与函数y＝的图像交于点P，以P为圆心、以2OP为半径作弧交图像于点R．分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连结OM得到∠MOB，则∠MOB＝∠AOB．

    要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：

    (1)设P、R，求直线OM对应的函数表达式(用含a，b的代数式表示)；

    (2)分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q．请说明Q点在直线OM上，并据此证明∠MOB＝∠AOB；

    (3)应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角(用文字简要说明)．

    答案：
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    （1）“三等分角”是数学史上一个著名问题，但数学家已经证明，仅用尺规不可能“三等分任意角”．但对于特定度数的已知角，如90°角、45°角等，是可以用尺规进行三等分的．如图a，∠AOB=90°，我们在边OB上取一点C，用尺规以OC为一边向∠AOB内部作等边△OCD，作射线OD，再用尺规作出∠DOB的角平分线OE，则射线OD、OE将∠AOB三等分．仔细体会一下其中的道理，然后用尺规把图b中的∠MON三等分（已知∠MON=45°）．（不需写作法，但需保留作图痕迹，允许适当添加文字的说明）
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    （2）数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法（如图c）：将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上、边OA与函数y=
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    的图象交于点P，以P为圆心、2OP长为半径作弧交图象于点R．分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM得到∠MOB，则∠MOB=
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    ∠AOB．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：
    ①设P（a，
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    ）、R（b，
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    b
    ），求直线OM对应的函数关系式（用含a、b的代数式表示）．
    ②分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q．请说明Q点在直线OM上，并据此证明∠MOB=
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    ∠AOB．
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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    （1）“三等分角”是数学史上一个著名问题，但数学家已经证明，仅用尺规不可能“三等分任意角”．但对于特定度数的已知角，如90°角、45°角等，是可以用尺规进行三等分的．如图a，∠AOB=90°，我们在边OB上取一点C，用尺规以OC为一边向∠AOB内部作等边△OCD，作射线OD，再用尺规作出∠DOB的角平分线OE，则射线OD、OE将∠AOB三等分．仔细体会一下其中的道理，然后用尺规把图b中的∠MON三等分（已知∠MON=45°）．（不需写作法，但需保留作图痕迹，允许适当添加文字的说明）

    （2）数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法（如图c）：将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上、边OA与函数y=数学公式的图象交于点P，以P为圆心、2OP长为半径作弧交图象于点R．分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM得到∠MOB，则∠MOB=数学公式∠AOB．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：
    ①设P（a，数学公式）、R（b，数学公式），求直线OM对应的函数关系式（用含a、b的代数式表示）．
    ②分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q．请说明Q点在直线OM上，并据此证明∠MOB=数学公式∠AOB．

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    科目：初中数学 来源：2010年江苏省无锡市江南中学中考数学二模试卷（解析版） 题型：解答题

    （1）“三等分角”是数学史上一个著名问题，但数学家已经证明，仅用尺规不可能“三等分任意角”．但对于特定度数的已知角，如90°角、45°角等，是可以用尺规进行三等分的．如图a，∠AOB=90°，我们在边OB上取一点C，用尺规以OC为一边向∠AOB内部作等边△OCD，作射线OD，再用尺规作出∠DOB的角平分线OE，则射线OD、OE将∠AOB三等分．仔细体会一下其中的道理，然后用尺规把图b中的∠MON三等分（已知∠MON=45°）．（不需写作法，但需保留作图痕迹，允许适当添加文字的说明）

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    ①设P（a，）、R（b，），求直线OM对应的函数关系式（用含a、b的代数式表示）．
    ②分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q．请说明Q点在直线OM上，并据此证明∠MOB=∠AOB．

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    科目：初中数学 来源：2011年江苏省无锡市育才中学中考数学二模试卷（解析版） 题型：解答题

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    ①设P（a，）、R（b，），求直线OM对应的函数关系式（用含a、b的代数式表示）．
    ②分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q．请说明Q点在直线OM上，并据此证明∠MOB=∠AOB．

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    科目：初中数学 来源：江苏模拟题 题型：解答题

    （1）“三等分角”是数学史上一个著名问题，但数学家已经证明，仅用尺规不可能“三等分任意角”，但对于特定度数的已知角，如90°角、45°角等，是可以用尺规进行三等分的，如图a，∠AOB=90°，我们在边OB上取一点C，用尺规以OC为一边向∠AOB内部作等边△OCD，作射线OD，再用尺规作出∠DOB的角平分线OE，则射线OD、OE将∠AOB三等分，仔细体会一下其中的道理，然后用尺规把图b中的∠MON三等分（已知∠MON=45°）；（不需写作法，但需保留作图痕迹，允许适当添加文字的说明）
    （2）数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法（如图c）：将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上、边OA与函数的图象交于点P，以P为圆心、2OP长为半径作弧交图象于点R， 分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM得到∠MOB，则∠MOB=∠AOB，要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：
    ①设、，求直线OM对应的函数关系式（用含a、b的代数式表示）；
    ②分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q，请说明Q点在直线OM上，并据此证明∠MOB=∠AOB。

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