【题目】如图，四边形
内接于
，
是的直径，
平分
，过
点作
于
点.
（1）求证：
是的切线；
（2）若
，
，求
的长.
【答案】（1）详见解析；（2）
【解析】
（1）如图1（见解析），连接OC、OD，先由圆周角定理得
，从而可得
，再根据圆周角定理和圆心角定理可得
，由此可得
垂直平分
，即有
，从而可证
，最后根据圆的切线的判定定理可证；
（2）方法一：如图2（见解析），延长
交
的延长线于
点，先利用三角形全等求出AF和CF的长，再通过证出两个三角形相似即可得；方法二：如图1（见解析），先利用
求出CE和AE的长，再利用勾股定理求出DE的长，最后根据线段的和差即可得.
（1）如图1，连接
是
的直径
于
点
平分
，即
（圆周角定理）
（圆心角定理）
垂直平分，即有
∴CE是的切线；
（2）∵AB是的直径
由题（1）已证
方法一： 如图2，延长交的延长线于点
,
（圆内接四边形的对角互补）
又
；
方法二：如图1，
在
中，由勾股定理得：
.
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【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别交AC、CN于D、M两点．
（1）求证：MD=MC；
（2）若⊙O的半径为5，AC=4
，求MC的长．
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【题目】某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面
的坡度为
，文化墙
在天桥底部正前方8米处(
的长)，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为
．(参考数据：
，
)
(1)若新坡面坡角为
，求坡角度数；
(2)有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙是否需要拆除？请说明理由．
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【题目】某养殖场计划用96米的竹篱笆围成如图所示的①、②、③三个养殖区域，其中区域①是正方形，区域②和③是矩形，且AG∶BG＝3∶2．设BG的长为2x米．
（1）用含x的代数式表示DF＝ ；
（2）x为何值时，区域③的面积为180平方米；
（3）x为何值时，区域③的面积最大？最大面积是多少？
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【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，CD⊥AB于点D，CD＝3．点P从点A出发沿线段AC以每秒1个单位的速度向终点C运动．过点P作PQ∥AB交BC于点Q，过点P作AC的垂线，过点Q作AC的平行线，两线交于点E．设点P的运动时间为t秒．
（1）求线段PQ的长．（用含t的代数式表示）
（2）当点E落在边AB上时，求t的值．
（3）当△PQE与△ACD重叠部分图形是四边形时，直接写出t的取值范围．
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【题目】如图，△ABC是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB=15，AC=9，BC=12，阴影部分是△ABC的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为______.
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【题目】某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；
（2）经调查，若每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？
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