Question

23、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证△ABC是等边三角形；
（2）若AE=1，求半圆O的半径．

Answer 1

分析：本题已知DE是圆的切线，可以得到OD⊥AB，易证△BDO是等边三角形，进而可以证出△ABC是等边三角形．

解答：（1）证明：连接OD；
∵DE是圆的切线，
∴OD⊥DE，
又∵DE⊥AC，
∴OD∥AC；
∵AB=AC，
∴BD=OD；
又∵OD=OB，
∴OB=OD=BD，
∴△BDO是等边三角形，
∴∠B=60°；
∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形．
（2）解：连接CD，则
CD⊥AB，
∴BD=AD=OB，
在直角△ADE中，
∠A=60°，
∴AD=2AE=2，
∴OB=AD=2．

点评：本题主要考查了等边三角形的证明方法，并且本题主要运用了切线的性质定理，切线垂直于过切点的半径．