分析 (1)作OD⊥AB于D,如图①,先根据勾股定理计算出AB=10,再证明Rt△AOD∽Rt△ABC,利用相似比计算出OD=3,由于OD等于半径OC,于是根据切线的判定定理即可得到AB是⊙O的切线;
(2)作DH⊥AC于H,如图②,先利用切线长定理得到BD=BC=6,则AD=4,再证明△AHD∽△ACB,则根据相似三角形的性质得$\frac{AH}{8}$=$\frac{DH}{6}$=$\frac{4}{10}$,于是可利用比例性质计算出AH=$\frac{16}{5}$,DH=$\frac{12}{5}$,所以CH=$\frac{24}{5}$,然后在Rt△CDH中利用勾股定理计算CD.
解答 (1)证明:作OD⊥AB于D,如图①,
在Rt△ACB中,∵AC=8,BC=6,
∴AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10,
∵∠OAD=∠BAC,
∴Rt△AOD∽Rt△ABC,
∴$\frac{OD}{BC}$=$\frac{AO}{AB}$,即$\frac{OD}{6}$=$\frac{8-3}{10}$,
∴OD=3,
∴OD=OC,
∴AB是⊙O的切线;
(2)解:作DH⊥AC于H,如图②,
∵AC⊥BC,
∴BC是⊙O的切线,
而AB是⊙O的切线,
∴BD=BC=6,
∴AD=AB-BC=4,
∵DH∥BC,
∴△AHD∽△ACB,
∴$\frac{AH}{AC}$=$\frac{DH}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$,即$\frac{AH}{8}$=$\frac{DH}{6}$=$\frac{4}{10}$,
∴AH=$\frac{16}{5}$,DH=$\frac{12}{5}$,
∴CH=AC-AH=8-$\frac{16}{5}$=$\frac{24}{5}$,
在Rt△CDH中,CD=$\sqrt{C{H}^{2}+D{H}^{2}}$=$\sqrt{(\frac{24}{5})^{2}+(\frac{12}{5})^{2}}$=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$.
点评 本题考查了切线的判定:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.在判定一条直线为圆的切线时,当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时,常过圆心作该直线的垂线段,证明该线段的长等于半径.也考查了勾股定理和相似三角形的判定与性质.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | M处 | B. | N处 | C. | P处 | D. | Q处 |
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A. | 某班45位同学,其中有2位同学生日相同 | |
B. | 在装只有10个红球的布袋中摸出一球,这球一定是红球 | |
C. | 今天是星期五,明天就是星期日 | |
D. | 同号两个实数的积一定是正数 |
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A. | 1 | B. | $\frac{1}{5}$ | C. | $\frac{1}{6}$ | D. | 0 |
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