Question

20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，点E在AB上，且DE∥AC，AE=5，DE=2，DC=3，动点P从点A出发，沿边AC以每秒2个单位长的速度向终点C运动，同时动点F从点C出发，在线段CD上以每秒1个单位长的速度向终点D运动，设运动时间为t秒．
（1）线段AC的长=6；
（2）当△PCF与△EDF相似时，求t的值；
（3）连接PE，以PE所在直线为对称轴作线段DC的轴对称图形D′C′，若点D′恰好落在线段AE上，求t的值．

Answer 1

分析 （1）过点E作EG⊥AC于G，证得四边形CDEG为矩形，由勾股定理求得AG，AC=CG+AG即可；
（2）①当△EDF∽△PCF时，$\frac{DE}{DF}$=$\frac{PC}{CF}$，代入整理得方程t²-6t+6=0，解方程求得t的值；
②当△EDF∽△FCP时，$\frac{DF}{DE}=\frac{PC}{CF}$，代入得方程$\frac{3-t}{2}=\frac{6-2t}{t}$，解得t₁=3，t₂=4，均不合题意舍去；
（3）由对称性得∠C′=∠C′D′A=90°，CD=C′D′=3，DE=ED′=2，求得AD′、MD′、MC′的长，证得△PMC′∽△AMD′，得出$\frac{PC′}{C′M}=\frac{AD′}{MD′}$，得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）过点E作EG⊥AC于G，如图1所示，
∵∠C=90°，EG⊥AC，DE∥AC，
∴四边形CDEG为矩形，
∴DE=CG=2，EG=DC=3，
由勾股定理得：AG=$\sqrt{A{E}^{2}-E{G}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴tan∠A=$\frac{3}{4}$，AC=CG+AG=2+4=6，
故答案为：6；
（2）①当△EDF∽△PCF时，$\frac{DE}{DF}$=$\frac{PC}{CF}$，
即$\frac{2}{3-t}$=$\frac{6-2t}{t}$，
整理得：t²-6t+6=0，
解得：t=$\frac{7±\sqrt{13}}{2}$，
∵0＜t＜3，$\frac{7+\sqrt{13}}{2}$＞3（不合题意舍去），
∴t=$\frac{7-\sqrt{13}}{2}$；
②当△EDF∽△FCP时，$\frac{DF}{DE}=\frac{PC}{CF}$，
即$\frac{3-t}{2}=\frac{6-2t}{t}$，
解得：t₁=3，t₂=4，
∵0＜t＜3，
∴均不合题意舍去；
综上，当△PCF与△EDF相似时，$t=\frac{{7-\sqrt{13}}}{2}$；
（3）如图2所示：由（1）得：tan∠A=$\frac{3}{4}$，
由对称性得：∠C′=∠C′D′A=90°，CD=C′D′=3，DE=ED′=2，
∴AD′=AE-ED′=5-2=3，MD′=AD′tan∠A=3×$\frac{3}{4}$=$\frac{9}{4}$，MC′=C′D′-MD′=3-$\frac{9}{4}$=$\frac{3}{4}$，
∵∠PMC′=∠AMD′，
∴△PMC′∽△AMD′，
∴$\frac{PC′}{C′M}=\frac{AD′}{MD′}$，
即$\frac{6-2t}{\frac{3}{4}}=\frac{3}{\frac{9}{4}}$，
整理得：6-2t=1，
解得：t=$\frac{5}{2}$．

点评 本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、轴对称图形等知识；本题综合性强，难度较大．