Question

【题目】如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=DC，AC与BD交于点O，延长BC到E，使得CE=AD，连接DE．
（1）求证：BD=DE．
（2）若AC⊥BD，AD=3，SABCD=16，求AB的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AD∥BC，CE=AD，

∴四边形ACED是平行四边形，

∴AC=DE，

∵四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=DC，

∴AC=BD，

∴BD=DE

（2）解：过点D作DF⊥BC于点F，

∵四边形ACED是平行四边形，

∴CE=AD=3，AC∥DE，

∵AC⊥BD，

∴BD⊥DE，

∵BD=DE，

∴S△BDE= BDDE= BD2= BEDF= （BC+CE）DF= （BC+AD）DF=S梯形ABCD=16，

∴BD=4 ，

∴BE= BD=8，

∴DF=BF=EF= BE=4，

∴CF=EF﹣CE=1，

∴由勾股定理得AB=CD= =

【解析】（1）由AD∥BC，CE=AD，可得四边形ACED是平行四边形，即可证得AC=DE，又由等腰梯形的性质，可得AC=BD，即可证得结论；（2）首先过点D作DF⊥BC于点F，可证得△BDE是等腰直角三角形，由SABCD=16，可求得BD的长，继而求得答案．