解：（1）四边形EFG是菱形，
故答案为：菱形．
（2）答：成立，
理由：连接AD、BC，∵∠APC=∠BPD，∴∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD，
∴∠APD=∠CPB，
∵PA=PC，PD=PB，
∴∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD，
即∠APD=∠BPC，
∴△APD≌△CPB（SAS），
∴AD=CB，
∵E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，
∴EF、FG、GH、EH分别△ABC、△ABD、△BCD、△ACD的中位线，
∴EF=
BC、FG=
AD、GH=
BC、EH=
AD，
∴EF=FG=GH=EH，
∴四边形EFGH是菱形．
（3）如图：
判断四边EFGH是正方形，
理由：连接AD、BC，
∵（2）中已证△APD≌△CPB，
∴∠PAD=∠PCB，
∵∠APC=90°，
∴∠PAD+∠1=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠PCB+∠2=90°，
∴∠3=90°，
∵（2）中已证GH、EH分别是△BCD、△ACD的中位线，
∴GH∥BC，EH∥AD，
∴∠EHG=90°，
∵（2）中已证四边EFGH是菱形，
∴菱形EFGH是正方形．
分析：（1）菱形；（2）连接AD、BC，由∠APC=∠BPD推出∠APD=∠CPB，证出∠APD=∠BPC，推出△APD≌△CPB（SAS），根据全等三角形的性质得到AD=BC，根据三角形的中位线定理，进一步推出EF=FG=GH=EH，即可得出结论；（3）判断四边EFGH是正方形，理由是连接AD、BC，由（2）全等推出∠PAD=∠PCB，由∠PAD+∠1=90°和∠1=∠2，推出∠PCB+∠2=90°，得出∠3=90°，根据三角形的中位线定理推出GH∥BC，EH∥AD，即可得出∠EHG=90°，即可推出结论．
点评：本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的中位线定理，全等三角形的性质和判定，菱形的判定，正方形的判定等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行证明是解此题的关键，题型较好，难度适中．
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