Question

已知二次函数y₁的图象的顶点是A（2，-3），且经过点（1，0）．
（1）求二次函数y₁的解析式；
（2）说出二次函数y₁与二次函数y₂=-（x-1）（x-3）的三个相同点与三个不同点；
（3）设抛物线y₂的顶点为B、若线段AB的垂直平分线交抛物线y₁于点C，交抛物线y₂于点D，求CD的长．

Answer 1

分析：（1）由顶点坐标设出函数解析式y₁=a（x-2）²-3，将（1，0）代入求得a的值即可；
（2）根据二次函数的性质从对称轴、顶点坐标、开口方向等去作比较；
（3）先求出B点坐标，由线段AB的垂直平分线交抛物线y₁于点C，交抛物线y₂于点D求出C、D两点坐标，由两点坐标公式求出CD的长．

解答：解：（1）设y₁=a（x-2）²-3，∵抛物线过点（1，0），
∴a（1-2）²-3=0，∴a=3．
∴二次函数y₁的解析式y₁=3（x-2）²-3；
（2）相同点：①对称轴相同；②与x轴的2个交点坐标相同；③都经过一，四象限．
不同点：①开口方向不同；②顶点坐标不同；③图象所在的象限不同；
（3）∵B（2，1），∴AB的中垂线为直线y=-1．
∴3（x-2）²-3=-1，
∴x=2±

6

3

，
∴C(2±

6

3

，0)；
同理，D(2±

2

，0)；
∴CD=

2

-

6

3

或

2

+

6

3

．

点评：本题考查了二次函数解析式的求法，性质以及由两点坐标求线段的方法．