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求两个不同的自然数,其算术平均数A和几何平均数G(指两数积的算术平方根)都是两位数,且A,G中一个可由另一个变换十位数字与个位数字得到.
分析:首先设两个不同的自然数x,y,根据题意可表示出A与G的值,即可求得以x,y为两根的二次方程,则可确定判别式△的取值,再设两位数A=10m+n,则G=10n+m(m,n是数字),代入判别式△,由△是完全平方数,即可列得方程组,求解方程组,则可求得答案.
解答:解:设两个不同的自然数x,y,
则A=
x+y
2
,G=
xy

x+y=2A
xy=
G
2
 

∴以x,y为两根的二次方程:t2-2At+G2=0,
∵x,y是自然数,
∴△=(2A)2-4G2=4(A2-G2)=4(A+G)(A-G),
又设两位数A=10m+n,则G=10n+m(m,n是数字),
∴△=4(11m+11n)(9m-9n)=36×11×(m+m)(m-n)是完全平方数,
又∵1<m+n≤18,0<m-n≤8,
m+n=11
m-n=1
m+n=11
m-n=4
(不合)
解得m=6,n=5.
∴A=65G=56t2-130t+562=0,
解得t1=98,t2=32.
答:两个不同自然数为98和32.
点评:此题考查了整数问题的综合应用,二次方程的判别式,完全平方数以及算术平均数和几何平均数等知识.此题综合性很强,注意分析,合理应用判别式的知识是解此题的关键.
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

23、如图,两个转盘A,B都被分成了3个全等的扇形,在每一个扇形内均标有不同的自然数,固定指针,同时转动转盘A,B,两个转盘停止后观察两个指针所指扇形内的数字(若指针停在扇形的边线上,当作指向上边的扇形)
(1)用列表法(或树形图)表示两个转盘停止转动后指针所指扇形内的数字的所有可能结果;
(2)小明每转动一次就记录数据,并算出两数之和,其中“和为7”的频数及频率如下表:

如果实验继续进行下去,根据上表数据,出现“和为7”的频率将稳定在它的概率附近,试估计出现“和为7”的概率;
(3)根据(2),若0<x<y,试求出x与y的值.

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科目:初中数学 来源: 题型:

(2011•武汉模拟)有两个可以自由转动的质地均匀转盘A、B都被分成了3个全等的扇形,在每一扇形内均标有不同的自然数,如图所示.转动转盘A、B,两个转盘停止后观察两个指针所指扇形内的数字(若指针停在扇形的边线上,当作指向下方的扇形).
(1)小明同学转动转盘A,小华同学转动转盘B,他们都转了30次,结果如下:
指针停靠的扇形内的数字 1 2 3 4 5 6
      出现的次数 x 18 6 5 10 15
(i)求出表中x的值.
(ii)计算A盘中“指针停靠的扇形内的数字为2”的频率;
(2)小明转动A盘一次,指针停靠的扇形内的数字作为十位数字,小华转动B盘一次,指针停靠的扇形内的数字作为个位数字,用列表或画树状图的方法求出“所得的两位数为5的倍数”(记为事件A)的概率.

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科目:初中数学 来源: 题型:

(2013•武汉模拟)有两个可以自由转动的质地均匀转盘都被分成了3.个全等的扇形,在每一扇形内均标有不同的自然数,如图所示,转动转盘,两个转盘停止后观察并记录两个指针所指扇形内的数字(若指针停在扇形的边线上,当作指向上边的扇形).
(l)用列表法或画树形图法求出同时转动两个转盘一次的所有可能结果;
(2)同时转动两个转盘一次,求“记录的两个数字之和为7”的概率.

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科目:初中数学 来源:2008年浙江省湖州市德清县初三数学通讯赛试卷(二)(解析版) 题型:解答题

求两个不同的自然数,其算术平均数A和几何平均数G(指两数积的算术平方根)都是两位数,且A,G中一个可由另一个变换十位数字与个位数字得到.

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