Question

Rt△ABC与Rt△FED是两块全等的含30°、60°角的三角板，按如图（一）所示拼在一起，CB与DE重合．
（1）求证：四边形ABFC为平行四边形；
（2）取BC中点O，将△ABC绕点O顺时钟方向旋转到如图（二）中△A′B′C′位置，直线B'C'与AB、CF分别相交于P、Q两点，猜想OQ、OP长度的大小关系，并证明你的猜想；
（3）在（2）的条件下，指出当旋转角至少为多少度时，四边形PCQB为菱形？（不要求证明）

Answer 1

【答案】分析：（1）已知△ABC≌△FCB，根据全等三角形的性质可知AB=CF，AC=BF，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得到结论．
（2）根据已知利用AAS判定△COQ≌△BOP，根据全等三角形的性质即可得到OP=OQ．
（3）根据对角线互相垂直的平行四边形的菱形进行分析即可．
解答：（1）证明：∵△ABC≌△FCB，（1分）
∴AB=CF，AC=BF．（2分）
∴四边形ABFC为平行四边形．（3分）
（用其它判定方法也可）

（2）解：OP=OQ，（4分）
理由如下：∵OC=OB，∠COQ=∠BOP，∠OCQ=∠PBO，
∴△COQ≌△BOP．（6分）
∴OQ=OP．（7分）
（用平行四边形对称性证明也可）

（3）解：90°．
理由：∵OP=OQ，OC=OB，
∴四边形PCQB为平行四边形，
∵BC⊥PQ，
∴四边形PCQB为菱形．（8分）
点评：此题考查学生对平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定，菱形的判定等知识的综合运用．