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6.如图,已知A、B两点的坐标分别为(-2,0)、(0,1),⊙C的圆心坐标为(0,-1),半径为1,E是⊙C上的一动点,则△ABE面积的最大值为(  )
A.2+$\frac{\sqrt{5}}{2}$B.3+$\frac{\sqrt{5}}{2}$C.3+$\frac{\sqrt{3}}{2}$D.4+$\frac{\sqrt{3}}{2}$

分析 方法一、先判断出点E的位置,点E在过点C垂直于AC的直线和圆C在点C下方的交点,然后求出直线AB解析式,进而得出CD解析式,即可得出点D坐标,再求出CD,进而得出DE,再用三角形的面积公式即可得出结论.
方法二,先求出OA,OB,根据勾股定理得出AB,利用面积相等求出OF,再利用三角形的中位线求出CD,进而得出DE,再用三角形的面积公式即可得出结论.

解答 解:方法一、如图,过点C作CD⊥AB,延长DC交⊙C于E,此时△ABE面积的最大值(AB是定值,只要圆上一点E到直线AB的距离最大),
设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0),
∵A(-2,0),B(0,1),
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{b=1}\end{array}\right.$,
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$,
∴直线AB的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+1①,
∵CD⊥AB,C(0,-1),
∴直线CD的解析式为y=-2x-1②,
联立①②得,D(-$\frac{4}{5}$,$\frac{3}{5}$),
∵C(0,-1),
∴CD=$\sqrt{(\frac{4}{5})^{2}+(\frac{3}{5}+1)^{2}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$,
∵⊙C的半径为1,
∴DE=CD+CE=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$+1,
∵A(-2,0),B(0,1),
∴AB=$\sqrt{5}$,
∴S△ABE面积的最大值=$\frac{1}{2}$AB•DE=$\frac{1}{2}$($\frac{4\sqrt{5}}{5}$+1)×$\sqrt{5}$=2+$\frac{\sqrt{5}}{2}$,
故选A.
方法二、如图1,过点C作CD⊥AB,延长DC交⊙C于E,此时△ABE面积的最大值(AB是定值,只要圆上一点E到直线AB的距离最大,而过圆心时,和圆相交两个点,一个是最大的,一个是最小的),
过点O作OF⊥AB于F,
∵A、B两点的坐标分别为(-2,0)、(0,1)
∴OA=2,OB=1,
在Rt△AOB中,根据勾股定理得,AB=$\sqrt{5}$,
∴S△AOB=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$AB•OF,
∴OF=$\frac{OA•OB}{AB}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$,
∵点C(0,-1),
∴OC=1,
∴OB=OC,
∴CD=2OF=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$,
∵⊙C的半径为1,
∴DE=CD+CE=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$+1,
∵A(-2,0),B(0,1),
∴AB=$\sqrt{5}$,
∴S△ABE面积的最大值=$\frac{1}{2}$AB•DE=$\frac{1}{2}$($\frac{4\sqrt{5}}{5}$+1)×$\sqrt{5}$=2+$\frac{\sqrt{5}}{2}$,
故选A.

点评 此题是圆的综合题,主要考查了圆的性质,待定系数法,求两条直线的交点的方法,三角形的面积公式,解本题的关键是判断出点E的位置,是一道中等难度的试题.

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已知每种型号车的载重量和租金如表:
车型AB
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(2)请选出最省钱的租车方案,并求出最少租车费.

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【分析问题】在解决这个问题时,某小组同学是这样做的:
先赋予∠A几个特殊值:
当∠A=80°时,计算出∠P=130°;
当∠A=40°时,计算出∠P=110°;
当∠A=100°时,计算出∠P=140°;
…由以上特例猜想∠P与∠A的关系为:∠P=90°+$\frac{1}{2}$∠A.再证明这一结论:
证明:∵点P是∠ABC、∠ACB的角平分线的交点.
∴∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC;∠PCB=$\frac{1}{2}$∠ACB
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)
又∵∠A+(∠ABC+∠ACB)=180°
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)
=$\frac{1}{2}$(180°-∠A)
∴∠P=180°-(∠PBC+∠PCB)
=180°-$\frac{1}{2}$(180°-∠A)
=90°+$\frac{1}{2}$∠A
【解决问题】请运用以上解决问题的“思想方法”解决下面的几个问题:
(1)如图2,若点P时∠ABC、∠ACB的三等分线的交点,即∠PBC=$\frac{1}{3}$∠ABC,∠PCB=$\frac{1}{3}$∠ACB,猜测∠P与∠A的关系为∠P=$\frac{1}{3}$∠A+$\frac{2}{3}$×180°,证明你的结论.
(2)若点P时∠ABC、∠ACB的四等分线的交点,即∠PBC=$\frac{1}{4}$∠ABC,∠PCB=$\frac{1}{4}$∠ACB,则∠P与∠A的关系为∠P=$\frac{1}{4}$∠A+$\frac{3}{4}$×180°.(直接写出答案,不需要证明)
(3)若点P时∠ABC、∠ACB的n等分线的交点,即∠PBC=$\frac{1}{n}$∠ABC,∠PCB=$\frac{1}{n}$∠ACB,则∠P与∠A的关系为$\frac{n-1}{n}$•180°+$\frac{1}{n}$∠A.(直接写出答案,不需要证明)

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