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如图,拋物线y1=ax2-2axb经过A(-1,0),C(2,)两点,与x轴交于另一点B

(1)求此拋物线的解析式;

(2)若拋物线的顶点为M,点P为线段OB上一动点(不与点B重合),点Q在线段MB上移动,且∠MPQ=45°,设线段OPxMQy2,求y2与x的函数关系式,并直接写出自变量x的取值范围;

(3)在同一平面直角坐标系中,两条直线xmxn分别与拋物线交于点EG,与(2)中的函数图像交于点FH.问四边形EFHG能否为平行四边形?若能,求mn之间的数量关系;若不能,请说明理由.

答案:
解析:

  解∶(1)∵拋物线y1=ax2-2axb经过A(-1,0),C(0,)两点,∴,∴a=-b,∴拋物线的解析式为y1=-x2+x

  (2)作MNAB,垂足为N.由y1=-x2+x易得M(1,2),

  N(1,0),A(-1,0),B(3,0),∴AB=4,MNBN=2,MB=2

  ∠MBN=45°.根据勾股定理有BM2-BN2=PM2-PN2.

  ∴(2)2-22=PM2=-(1-x)2 ①,又∠MPQ=45°=∠MBP

  ∴△MPQ∽△MBP,∴PM2=MQ×MBy2×2.②.

  由①、②得y2=x2-x.∵0≤x<3,∴y2与x的函数关系式为y2=x2-x(0≤x<3).

  (3)四边形EFHG可以为平行四边形,mn之间的数量关系是mn=2(0≤m≤2,且m≠1).∵点EG是抛物线y1=-x2+x

  分别与直线x=m,x=n的交点,∴点EG坐标为

  E(m,-m2+m),G(n,-n2+n).同理,点FH坐标

  为F(mm2-m),H(nn2-n).

  ∴EFm2-m-(-m2+m)=m2-2m+1,GHn2-n-(-n2+n)=n2-2n+1.

  ∵四边形EFHG是平行四边形,EFGH.∴m2-2m+1=n2-2n+1,∴(mn-2)(mn)=0.

  由题意知mn,∴mn=2(0≤m≤2,且m≠1).

  因此,四边形EFHG可以为平行四边形,mn之间的数量关系是mn=2(0≤m≤2,且m≠1).


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