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在一个三角形中,如果一个角是另一个角的2倍,我们称这种三角形为倍角三角形.如图1,倍角△ABC中,∠A=2∠B,∠A、∠B、∠C的对边分别记为a,b,c,倍角三角形的三边a,b,c有什么关系呢?让我们一起来探索.

(1)我们先从特殊的倍角三角形入手研究.请你结合图形填空:
三三角形角形角的已知量  
图2∠A=2∠B=90°   
图3∠A=2∠B=60°   
(2)如图4,对于一般的倍角△ABC,若∠CAB=2∠CBA,∠CAB、∠CBA、∠C的对边分别记为a,b,c,a,b,c,三边有什么关系呢?请你作出猜测,并结合图4给出的辅助线提示加以证明;
(3)请你运用(2)中的结论解决下列问题:若一个倍角三角形的两边长为5,6,求第三边长. (直接写出结论即可)
【答案】分析:(1)图2的三角形,显然是等腰直角三角形,可设斜边c为2,那么a=b=,即可求得的值,图3的解法同上.
(2)由(1)的结论,可猜测a、b、c的等量关系应该是,可通过构造相似三角形来证明;延长CA至D,是得AD=AB;那么∠CAB=2∠A=2∠CBA,再加上公共角∠C,即可证得△CBD∽△CAB,由此得到所求的结论.
(3)将已知的边长代入(2)的结论进行计算即可.
解答:解:(1)
三角形角的已知量 
图2∠A=2∠B=90°   
图3∠A=2∠B=60°  
;(2分)

(2)猜测a,b,c的关系是延长CA至D,使AD=AB(如图4);
∵AD=AB,∴∠D=∠ABD,
∴∠CAB=∠D+∠ABD=2∠D,
∵∠CAB=2∠CBA,
∴∠D=∠CBA,
又∵∠C=∠C,
∴△CBD∽△CAB,
.(4分)

(3)①当a=5,b=6时,
由(2)得:,解得c=-(不合题意舍去);
②当a=6,b=5时,
,解得c=
③当a=5,c=6时,
,解得b=-3(负值舍去);
④当a=6,c=5时,
,解得b=4(负值舍去);
⑤当b=5,c=6时,
,解得a=(负值舍去);
⑥当b=6,c=5时,
,解得a=(负值舍去).
综上可知:第三边的长为或4或
点评:此题主要考查的是相似三角形的判定和性质,要注意的是(3)题的情况较多,一定要分类讨论,不要漏解.
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

在一个三角形中,如果一个角是另一个角的2倍,我们称这种三角形为倍角三角形.如图1,倍角△ABC中,∠A=2∠B,∠A、∠B、∠C的对边分别记为a,b,c,倍角三角形的三边a,b,c有什么关系呢?让我们一起来探索.
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(1)我们先从特殊的倍角三角形入手研究.请你结合图形填空:
三三角形角形 角的已知量
a
b
 
b+c
a
 
图2 ∠A=2∠B=90°     
图3 ∠A=2∠B=60°     
(2)如图4,对于一般的倍角△ABC,若∠CAB=2∠CBA,∠CAB、∠CBA、∠C的对边分别记为a,b,c,a,b,c,三边有什么关系呢?请你作出猜测,并结合图4给出的辅助线提示加以证明;
(3)请你运用(2)中的结论解决下列问题:若一个倍角三角形的两边长为5,6,求第三边长. (直接写出结论即可)

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19、以下叙述中不正确的是(  )

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25、阅读理解:“在一个三角形中,如果角相等,那么它们所对的边也相等.”简称“等角对等边”,如图,在△ABC中,已知∠ABC和∠ACB的平分线上交于点F,过点F作BC的平行线分别交AB、AC于点D、E,请你用“等角对等边”的知识说明DE=BD+CE.

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求证:在一个三角形中,如果两条边不等,那么它们所对的角也不等.

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下列说法中,正确的有(  )个.
①有两边及一边上的高线对应相等的两个三角形全等.
②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
③底边上的高等于这边的一半的等腰三角形一定是等腰直角三角形.
④在一个三角形中,如果有一个角是30°,且有一边等于另一边的一半,那么这个三角形是直角三角形.

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