Question

20．如图，在?ABCD中，对角线AC的垂直平分线交BC于E，交AD于F，求证：四边形AECF的菱形．

Answer 1

分析 首先证明△AOF≌△COE可得EO=FO，再由条件对角线AC的垂直平分线交BC于E，交AD于F可得AO=CO，进而可得四边形AECF为平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得结论．

解答 证明：∵AF∥EC．
∴∠FAC=∠ECA．
在△AOF与△COE中$\left\{\begin{array}{l}{∠AOF=∠COE}\\{AO=CO}\\{∠FAC=∠ACE}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△COE（ASA）．
∴EO=FO，
∴四边形AECF为平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF为菱形．

点评 此题主要考查了菱形的判定，中垂线的性质，全等三角形的判定和性质，关键是掌握对角线互相垂直的平行四边形是菱形．