Question

如图，在△ABC的外部，分别以AB、AC为直角边，点A为直角顶点，作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，CD与BE交于点P．
试证：（1）CD=BE；（2）∠BPC=90°．

Answer 1

证明：（1）在等腰直角△ABD和等腰直角△ACE中
AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠EAC=90°，
∠ADB=∠ABD=45°．
∴∠BAE=∠DAC．
在△BAE和△DAC中
∵
∴△BAE≌△DAC
∴CD=BE．

（2）由△BAE≌△DAC得到∠ABE=∠ADC．
∵∠ADB+∠ABD=90°，
∴∠ADC+∠ABD+∠BDC=90°=∠ABE+∠ABD+∠BDC，
即∠DBP+∠BDC=90°．
∴∠BPC=90°．
分析：（1）要证CD=BE，就得证CD和BE所在的两三角形△BAE和△DAC全等，两对应边相等和角相等．
（2）由（1）得∠ABE=∠ADC．通过等量代换和外角的性质得出．
点评：此题考查的知识点是全等三角形的判定和性质的应用．关键是证△BAE和△DAC全等，通过等量代换和外角的性质得出∠BPC=90°．