Question

阅读下面的材料，并回答所提出的问题：如图所示，在锐角三角形ABC中，求证：

b

sinB

=

c

sinC

这个三角形不是一个直角三角形，不能直接使用锐角三角函数的知识去处理，所以必须构造直角三角形，过点A作AD⊥BC，垂足为D，则在Rt△ABD和Rt△ACD中由正弦定义可完成证明．
解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ABD中，sinB=

AD

AB

，则AD=csinB
Rt△ACD中，sinC=

AD

AC

，则AD=bsinC
所以c sinB=b sinC，即

b

sinB

=

c

sinC

（1）在上述分析证明过程中，主要用到了下列三种数学思想方法的哪一种（　　）
A、数形结合的思想；B、转化的思想；C、分类的思想
（2）用上述思想方法解答下面问题．
在△ABC中，∠C=60°，AC=6，BC=8，求AB和△ABC的面积．
（3）用上述结论解答下面的问题（不必添加辅助线）
在锐角三角形ABC中，AC=10，AB=5

6

，∠C=60°，求∠B的度数．

Answer 1

分析：（1）题中给出的解题的过程是通过构建直角三角形，以AD为中间值将相等的条件进行转化而得出的结果，因此应该选B；
（2）根据题目给出的解题方法，我们也要通过构建直角三角形来求解，过A作AD⊥BC于D，那么先求两直角三角形的公共边AD是解题的关键，可在三角形ACD中求出AD，CD的长，然后在三角形ABD中求出AB的长，有了AD，BC的长也就能求出三角形的面积了；
（3）可将AC，AB，sinC的值代入题目给出的等量条件中求出sinB的值，也就求出了∠B的度数．

解答：解：（1）由分析知选B；

（2）过A作AD⊥C于D，在直角三角形ACD中，AC=6，∠C=60°，
AD=AC•sin60°=3

3

，CD=AC•cos60°=3，
∴BD=BC-CD=8-3=5，
直角三角形ABD中，根据勾股定理可得，
AB=

AD2+BD2

=2

13

，
S=

1

2

•BC•DA=12

3

，

（3）由题意可得：

AC

sinB

=

AB

sinC

，
即：

10

sinB

=

5 6

sin60°

，
∴sinB=

2

2

，
因此∠B=45°．

点评：本题就是一个先学习再运用过程，目的考查学生综合能力，首先看懂，然后理解再应用，本题的重点是要学会题中给出的作辅助线的方法．