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    （2011•宣城模拟）我们知道连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；通过证明可以得到“三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半”类似三角形中位线，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图在梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别是AB、CD的中点，观察EF的位置，联想三角形中位线的性质，你能发现梯形的中位线有什么性质？证明你的结论．
    （2）如果点E分线段AB为
    AE
    EB
    =
    1
    3
    ，EF∥BC交CD于F，AD=3，BC=5，请你利用第（1）的结论求出EF=
    3.5
    3.5
    （直接填写结果）；
    （3）如果点E分线段AB为
    AE
    EB
    =
    m
    n
    ，EF∥BC交CD 于F，AD=a，BC=b，求EF的长．
    分析：（1）连接AF并延长交BC的延长线于点G，然后利用角边角证明△ADF与△GCF全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=CF、AD=CG，然后再根据三角形的中位线定理即可得证明；
    （2）过点A作AH∥CD交EF于点G，交BC于点H，根据平行四边形的对边相等可得GF=AD，再根据平行线分线段成比例定理表示出EG的长度，然后相加即可求出EF的长；
    （3）与（2）同理可求出EF的长．
    解答：解：（1）证明：如图1，连接AF并延长交BC的延长线于点G，
    ∵AD∥BC，
    ∴∠D=∠GCF，
    ∵F是CD的中点，
    ∴DF=FC，
    在△ADF与△GCF中，
    ∠D=∠GCF
    DF=FC
    ∠DFA=∠CFG(对顶角相等)
    ，
    ∴△ADF≌△GCF（ASA），
    ∴AF=FG，AD=CG，
    ∴EF∥BC，且EF=
    1
    2
    BG，
    ∵BG=BC+CG，
    ∴EF=
    1
    2
    （AD+BC），
    即梯形的中位线平行于底边并且等于两底和的一半；

    （2）如图2，过点A作AH∥CD交EF于点G，交BC于点H，
    ∵AD∥BC，
    ∴GF=CH=AD，
    ∵
    AE
    EB
    =
    1
    3
    ，
    ∴
    EG
    BH
    =
    AE
    AB
    =
    1
    4
    ，
    ∴EG=
    BH
    4
    ，
    ∴EF=EG+GF=
    BH
    4
    +AD，
    ∵AD=3，BC=5，
    ∴EF=
    5-3
    4
    +3=3.5；

    （3）如图3，过点A作AH∥CD交EF于点G，交BC于点H，
    ∵AD∥BC，
    ∴GF=CH=AD，
    ∵
    AE
    EB
    =
    m
    n
    ，
    ∴
    EG
    BH
    =
    AE
    AB
    =
    m
    m+n
    ，
    ∴EG=
    m
    m+n
    BH，
    ∴EF=EG+GF=
    m
    m+n
    BH+AD，
    ∵AD=a，BC=b，
    ∴EF=
    m
    m+n
    ×（b-a）+a=
    mb+na
    m+n
    ．
    点评：本题主要考查了梯形的中位线与平行线分线段成比例定理，通过作辅助线，把梯形的问题转化为三角形的中位线进行解答是解题的关键．
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