Question

已知：正方形ABCD边长为4cm，E，F分别为CD，BC的中点，动点P在线段AB上从B?A以2cm/s的速度运动，同时动点Q在线段FC上从F?C以1cm/s的速度运动，动点G在PC上，且∠EGC=∠EQC，连接PD．设运动时间为t秒．
（1）求证：△CQE∽△APD；
（2）问：在运动过程中CG•CP的值是否发生改变？如果不变，请求这个值；若改变，请说明理由；
（3）当t为何值时，△CGE为等腰三角形并求出此时△CGE的面积．

Answer 1

分析：（1）首先求出QC=2-t，AP=4-2t，求出线段比然后可证明△CQE∽△APD．
（2）依题意证得△CQE∽△APD后推出∠EGC=∠PDC，然后再证明△CGE∽△CDP利用线段比可证得CG•CP=CD•CE．
（3）由（2）得△CGE∽△CDP，要分三种情况讨论t的取值然后才能求出△CGE的面积．

解答：（1）证明：∵FQ=t，BP=2t，
∴QC=2-t，AP=4-2t，
∴

QC

AP

=

CE

AD

=

1

2

，
∵∠QCE=∠A=90°，
∴△CQE∽△APD．（2分）

（2）解：CG•CP的值是一个定值．（3分）
∵△CQE∽△APD，
∴∠CQE=∠APD，
∵正方形ABCD中AB∥CD，
∴∠APD=∠PDC，
∵∠EGC=∠EQC，
∴∠EGC=∠PDC，
∵∠PCD=∠PCD，
∴△CGE∽△CDP，
∴

CG

CD

=

CE

CP

，
∴CG•CP=CD•CE=4×2=8．（5分）

（3）解：∵△CGE∽△CDP，
∴△CGE和△CDP的形状相同．
①t=0时△CDP为等腰三角形，则△CGE也为等腰三角形．（6分）
S_△CGE=2．（7分）
②t=1时△CDP为等腰三角形，则△CGE也为等腰三角形．（8分）
∵

S△CGE

S△CDP

=(

CE

CP

)2，
∴

S△CGE

8

=(

2

2 5

)2，
S_△CGE=

8

5

．（9分）
③t=2的时候∠EGC不存在．（10分）
综上所述t=0时，△CGE为了等腰三角形面积为2，
t=1时，△CGE为等腰三角形面积为

8

5

．（11分）

点评：本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，线段的比等知识，难度中上．