Question

【题目】对于有理数，定义一种新运算“”，规定.

（1）计算的值.

（2）当在数轴上的位置如图所示时，化简.

（3）当时，是否一定有或者？若是，则说明理由；若不是，则举例说明.

（4）已知，求的值.

Answer 1

【答案】（1）6；（2）-2b；（3）不一定，理由见解析；（4）或-．

【解析】

（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果；

（2）根据数轴上点的位置判断出a+b与a-b的正负，利用绝对值的代数意义计算即可得到结果；

（3）当a⊙b=a⊙c时，不一定有b=c或者b=-c，举例即可；

（4）分类讨论a的正负，利用新定义将已知等式化简，即可求出a的值．

（1）根据题中的新定义得：2⊙（-3）=|2+（-3）|+|2-（-3）|=1+5=6；

（2）从a，b在数轴上的位置可得a+b＜0，a-b＞0，

∴a⊙b=|a+b|+|a-b|=-（a+b）+（a-b）=-2b；

（3）由a⊙b=a⊙c得：|a+b|+|a-b|=|a+c|+|a-c|，

不一定有b=c或者b=-c，

例如：取a=5，b=4，c=3，则|a+b|+|a-b|=|a+c|+|a-c|=10，

此时等式成立，但b≠c且b≠-c；

（4）当a≥0时，（a⊙a）⊙a=2a⊙a=4a=8+a，

解得：a=；

当a＜0时，（a⊙a）⊙a=（-2a）⊙a=-4a=8+a，

解得：a=-．

故a的值为：或-．