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求证:如果a,b是互质的正整数,c是整数,且方程ax+by=c ①,有一组整数解x0,y0,则此方程的一切整数解可以表示为
x=x0-bt
y=y0+at
,其中t=0,±1,±2,±3,….
证明:因为x0,y0是方程①的整数解,当然满足ax0+by0=c,②
因此a(x0-bt)+b(y0+at)=ax0+by0=c.
这表明x=x0-bt,y=y0+at也是方程①的解.
设x′,y′是方程①的任一整数解,则有
ax′+by′=c.③
③-②得
a(x′-x0)=b′(y0-y′).④
∵a,b是互质的正整数即(a,b)=1,
∴即y′=y0+at,其中t是整数.将y′=y0+at代入④,即得x′=x0-bt.
∴x′,y′可以表示成x=x0-bt,y=y0+at的形式,
∴x=x0-bt,y=y0+at表示方程①的一切整数解.
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科目:初中数学 来源: 题型:

求证:如果a,b是互质的正整数,c是整数,且方程ax+by=c ①,有一组整数解x0,y0,则此方程的一切整数解可以表示为
x=x0-bt
y=y0+at
,其中t=0,±1,±2,±3,….

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