Question

已知抛物线L：y＝ax²＋bx＋c(其中a、b、c都不等于0)，它的顶点P的坐标是(－，)，与y轴的交点是M(0，c)．我们称以M为顶点，对称轴是y轴且过点P的抛物线为抛物线L的伴随抛物线，直线PM为L的伴随直线．

(1)请直接写出抛物线y＝2x²－4x＋1的伴随抛物线和伴随直线的解析式：

伴随抛物线的解析式________，

伴随直线的解析式________；

(2)若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y＝－x²－3和y＝－x－3，则这条抛物线的解析式是________；

(3)求抛物线L：y＝ax²＋bx＋c(其中a、b、c都不等于0)的伴随抛物线和伴随直线的解析式；

(4)若抛物线L与x轴交于A(x₁，0)，B(x₂，0)两点，x₂＞x₁＞0，它的伴随抛物线与x轴交于C、D两点，且AB＝CD，请求出a、b、c应满足的条件．

Answer 1

答案：
解析：

分析：由抛物线y＝2x2－4x＋1的顶点为(1，－1)，与y轴的交点为(0，1)，那么它的伴随抛物线的顶点为(0，1)，且过点(1，－1)． 　　由于顶点在y轴上，因此可设伴随抛物线解析式为y＝ax2＋1，再把(1，－1)代入，可求得a＝－2，所以求得伴随抛物线为y＝－2x2＋1． 　　伴随直线是过(0，1)，(1，－1)两点的直线，设直线解析式为y＝px＋q，则 　　解得 　　所以伴随抛物线为y＝－2x＋1． 　　(2)若已知一条抛物线的伴随抛物线与伴随直线分别为y＝－x2－3与y＝－x－3，而它们在y轴的交点(0，－3)是原抛物线上的点，这两条图像的另一个交点是原抛物线的顶点，为了求这两个图像的交点，可解方程组 　　解得 　　而(0，－3)就是两个图像在y轴上的交点，则另一点(1，－4)就是原抛物线的顶点． 　　设抛物线的解析式为y＝m(x－1)2－4，把(0，3)代入，m＝1，所以y＝(x－1)2－4＝x2－2x－3． 　　(3)求抛物线y＝ax2＋bx＋c(其中a、b、c都不为0)的伴随抛物线与伴随直线解析式的一般形式，由定义可知，伴随抛物线的顶点是(0，c)，设它的解析式为y＝mx2＋c(m≠0)(对称轴为y轴b＝0)． 　　∵抛物线过原抛物线的顶点P(－，)． 　　∴＝m·(－)2＋c，解得m＝－a． 　　∴伴随抛物线的解析式为y＝－ax2＋c． 　　设伴随直线解析式为y＝kx＋c． 　　∵P(－，)在此直线上，∴＝－k＋c，k＝， 　　∴伴随直线的解析式为y＝x＋c． 　　(4)由x2＞x1＞0，且AB＝CD，则可用a、b、c表示出AB、CD的长． 　　∵抛物线L与x轴有两个交点，∴Δ1＝b2－4ac＞0，∴b2＞4ac． 　　∵x2＞x1＞0，∴x1＋x2＝－＞0，x1x2＝＞0， 　　∴ad＜0，ac＞0． 　　对于伴随抛物线y＝－ax2＋c，有Δ2＝02－(－4ac)＝4ac＞0， 　　由－ax2＋c＝0，得x＝±，∴C(－，0)，D(，0)， 　　∴CD＝2． 　　又AB＝x2－x1＝＝＝＝． 　　由AB＝CD，得＝2，整理得b2＝8ac． 　　综上所述b2＞4ac，ab＜0，ac＞0，b2＝8ac． 　　所以a、b、c应满足的条件为b2＝8ac且ab＜0(或bc＞0)．