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已知:A、B、C不在同一直线上.

(1).若点A、B、C均在半径为R的⊙O上,

A、B、C如图一,当∠A=45°时,R=1,求∠BOC的度数和BC的长度;

Ⅱ.如图二,当∠A为锐角时,求证sin∠A=

(2).若定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN(B、C均与点A不重合)滑动,如图三,当∠MAN=60°,BC=2时,分别作BP⊥AM,CP⊥AN,交点为点P ,试探索:在整个滑动过程中,P、A两点的距离是否保持不变?请说明理由.         N  Q

 

解:(1). ①

∠BOC=90°(同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半);

由勾股定理可知BC==

         (提示:也可延长BO或过点O作BC边的垂线段)

        ②证明:可连接BO并延长,交圆于点E,连接EC.

        可知EC⊥BC(直径所对的圆周角为90°)

        且∠E=∠BAC(同弧所对的圆周角相等)

        故sin∠A=.

 (2).保持不变.

可知△CQP∽△BQA,且∠AQP=∠BQC,所以△BCQ∽△APQ;

       即; AP==(为定值).

       故保持不变。

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