Question

已知：A、B、C不在同一直线上.

（1）.若点A、B、C均在半径为R的⊙O上，

A、B、C如图一，当∠A=45°时，R=1，求∠BOC的度数和BC的长度；

Ⅱ.如图二，当∠A为锐角时，求证sin∠A=；

（2）.若定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN（B、C均与点A不重合）滑动，如图三，当∠MAN=60°，BC=2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为点P ，试探索：在整个滑动过程中，P、A两点的距离是否保持不变？请说明理由.　　　　　　　　 N　 Q

　

Answer 1

解：（1）. ①

∠BOC=90°（同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半）；

由勾股定理可知BC==

         （提示：也可延长BO或过点O作BC边的垂线段）

        ②证明：可连接BO并延长，交圆于点E，连接EC.

        可知EC⊥BC（直径所对的圆周角为90°）

        且∠E=∠BAC（同弧所对的圆周角相等）

        故sin∠A=.

 （2）.保持不变.

可知△CQP∽△BQA，且∠AQP=∠BQC，所以△BCQ∽△APQ;

       即; AP==（为定值）.

       故保持不变。