Question

（2013•梧州）已知，点C在以AB为直径的半圆上，∠CAB的平分线AD交BC于点D，⊙O经过A、D两点，且圆心O在AB上．
（1）求证：BD是⊙O的切线．
（2）若

AC

AB

=

1

4

，BC=4

5

，求⊙O的面积．

Answer 1

分析：（1）连接OD，求出∠CAD=∠OAD=∠ADO，推出OD∥AC，推出OD⊥CB，根据切线判定推出即可；
（2）根据勾股定理求出AC=

16 3

，AB=4

16 3

．设⊙O的半径为r，证△BOD∽△BAC，得出

OB

AB

=

OD

AC

，代入求出r即可．

解答：解：（1）连接OD．
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC，
∴∠ODB=∠ACB=90°，
∴BD是⊙O的切线．

（2）∵

AC

AB

=

1

4

，
∴AB=4AC，
∵BC²=AB²-AC²，
∴15AC²=80，
∴AC=

16 3

，
∴AB=4

16 3

．
设⊙O的半径为r，
∵OD∥AC，
∴△BOD∽△BAC，
∴

OB

AB

=

OD

AC

∴

4 16 4 -r

4 16 3

=

r

16 3

，解得：r=

16 3

15

∴πr²=π•（

16 3

15

）²=

256

75

π，
∴⊙O的面积为

256

75

π．

点评：本题考查了切线的判定，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，圆的面积，相似三角形的性质和判定等知识点的应用，主要考查学生的综合运用性质进行推理和计算的能力．