Question

如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，四边形ABCD的周长为10cm．图中阴影部分的面积为（　　）

• A、

  3

  2

• B、

  2π

  3

  -

  3

• C、2

  3

• D、4

  3

Answer 1

分析：由AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，得到∠1=∠2=∠3=30°，∠B=60°，于是有AB=AD=DC，且∠BAC=90°，得到BC为直径，设圆心为O，AB=x，则BC=2AB=2x，∠4=2∠1=60°，然后利用四边形ABCD的周长为10cm，可求出半径；而S_阴影部分=S_扇形OAD-S_△OAD，利用扇形的面积公式：S=

nπR2

360

和等边三角形的面积分别计算它们的面积即可．

解答：解：如图，
∵AC平分∠BCD，
∴∠1=∠2，
又∵AD∥BC，
∴∠1=∠2=∠3，
而∠ADC=120°，
∴∠1=∠2=∠3=30°，∠B=60°，
∴AB=AD=DC，且∠BAC=90°，
∴BC为直径，设圆心为O，AB=x，则BC=2AB=2x，∠4=2∠1=60°，
又∵四边形ABCD的周长为10cm，
∴x+x+x+2x=10，解得x=2，即⊙O的半径为2，
连OA，OD，
∴S_阴影部分=S_扇形OAD-S_△OAD=

60π×4

360

-

3

4

×2²=

2π

3

-

3

．
故选B．

点评：本题考查了扇形的面积公式：S=

nπR2

360

，其中n为扇形的圆心角的度数，R为圆的半径），或S=

1

2

lR，l为扇形的弧长，R为半径．同时考查了圆周角定理及其推论以及等边三角形的面积．