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将正方形ABCD和正方形BEFG如图1摆放,连DF.
(1)如图2,将图1中的正方形BEFG绕B点顺时针旋转90°,连DF、CG相交于M,则
DF
CG
=
 
,∠DMC=
 

(2)如图3,将图1中的正方形BEFG绕B点顺时针旋转45°,DF的延长线交CG于M,试探究
DF
CG
与∠DMC的值,并证明你的结论;
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(3)若将图1中的正方形BEFG绕B点逆时针旋转β(0°<β<90°),则
DF
CG
=
 
,∠DMC=
 

请画出图形,并直接写出你的结论(不用证明).
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分析:(1)如图,连接BF,根据正方形的性质可以得到∠FBC=∠CBD=45°,由此推出∠CBD=∠GBC=90°,BF=
2
BG,BD=
2
BC,由此即可证△BFD、△BGC相似,然后利用相似三角形的性质即可得到结论;
(2)由于将图1中的正方形BEFG绕B点顺时针旋转45°,DF的延长线交CG于M,那么B、E、D三点在同一条直线上,根据正方形的性质可以得到∠CBD=∠GBC=45°,BF=
2
BG,BD=
2
BC,由此即可证△BFD、△BGC相似,然后利用相似三角形的性质即可得到结论;
(3)将图1中的正方形BEFG绕B点逆时针旋转β(0°<β<90°),如图所示,连接BF,和(1)(2)一样证明△BFD、△BGC相似即可解决问题.
解答:精英家教网解:(1)如图2,连接BF,
∵四边形ABCD、四边形BEFG是正方形,
∴∠FBC=∠CBD=45°,
∴∠CBD=∠GBC=90°,
而BF=
2
BG,BD=
2
BC,
∴△BFD∽△BGC,
∴∠BCG=∠BDF,
FD
CG
=
BF
BG

而∠DMC=180°-∠BCG-∠BCD-∠CDF=180°-∠BDF-∠BCD-∠CDF=180-45°-90°=45°,
DF
CG
=
2
,∠DMC=45°;

(2)如图3,∵将图1中的正方形BEFG绕B点顺时针旋转45°,DF的延长线交CG于M,
∴B、E、D三点在同一条直线上,
而四边形ABCD、四边形BEFG是正方形,
∴∠CBD=∠GBC=45°,BF=
2
BG,BD=
2
BC,精英家教网
∴△BFD∽△BGC,
DF
CG
=
2
,∠BCG=∠BDF
而∠DMC=180°-∠BCG-∠BCD-∠CDF
=180°-∠BDF-∠BCD-∠CDF=180-45°-90°
=45°,
即∠DMC=45°;

(3)
DF
CG
=
2
,∠DMC=45°,画图如图所示:
点评:此题比较难,主要考查了旋转及正方形的性质,综合性比较强,通过利用正方形的性质构造相似三角形的相似条件,然后利用相似三角形性质就可以解决问题.
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34
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(2)将正方形ABCD平移整数个单位,则是否存在一种平移,使点P落在正方形ABCD
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