Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，点D、E分别为边AB、BC中点，点P从点A出发，沿射线AB方向以每秒5个单位长度的速度向点B运动，到点B停止．当点P不与点A重合时，过点P作PQ∥AC，且点Q在直线AB左侧，AP＝PQ，过点Q作QM⊥AB交射线AB于点M．设点P运动的时间为t（秒）

（1）用含t的代数式表示线段DM的长度；

（2）求当点Q落在BC边上时t的值；

（3）设△PQM与△DEB重叠部分图形的面积为S（平方单位），当△PQM与△DEB有重叠且重叠部分图形是三角形时，求S与t的函数关系式；

（4）当经过点C和△PQM中一个顶点的直线平分△PQM的内角时，直接写出此时t的值．

Answer 1

【答案】（1）当0＜t≤时，DM＝﹣9t+10，当＜t≤4时，DM＝9t﹣10；（2）s；（3）当＜t≤时，重叠部分是△DMK，S）＝t2﹣t+．当≤t≤4时， S＝6t2﹣48t+96．（4）t的值为s或s．

【解析】

（1）分点M在线段AD上或点M在线段AD的延长线时两种情形分别求解．

（2）当点Q落在BC上时，由PQ∥AC，可得，由此构建方程即可解决问题．

（3）分两种情形：①如图3-1中，当＜t≤时，重叠部分是△DMK．②如图3-2中，当≤t≤4时，重叠部分是△PBK，分别求解．（4）分两种情形：①如图4-1中，当直线CQ平分∠PQM时，设直线CQ交AB于G，作GK⊥PQ于K．利用全等三角形的性质，平行线分线段成比例定理，构建方程即可．②如图4-2中，当CM平分∠QMP时，作CG⊥AB于G．求出AM的长，构建方程即可解决问题．

解：（1）如图1中，

在RtABC中，∵AC＝16，BC＝12，∠C＝90°，

∴AB＝，

∵PQ∥AC，

∴∠A＝∠QPM，

∵∠C＝∠PMQ＝90°，

∴△ACB∽△PMQ，

∴,

∴,

∴PM＝4t，MQ＝3t，

当0＜t≤时，DM＝AD﹣AM＝10﹣5t﹣4t＝﹣9t+10．

当＜t≤4时，DM＝AM﹣AD＝9t﹣10．

（2）如图2中，

当点Q落在BC上时，∵PQ∥AC，

∴,

∴，

解得t＝，

∴当点Q落在BC边上时t的值为s．

（3）如图3﹣1中，当＜t≤时，重叠部分是△DMK，S＝×DM×MK＝×（9t﹣10）×（9t﹣10）＝t2﹣t+．

如图3﹣2中，当≤t≤4时，重叠部分是△PBK，S＝PKBK＝×（20﹣5span>t）（20﹣5t）＝6t2﹣48t+96．

（4）如图4﹣1中，当直线CQ平分∠PQM时，设直线CQ交AB于G，作GK⊥PQ于K．

∵∠QKG＝∠QMG＝90°，∠GQK＝∠GQM，QG＝QG，

∴△QGK≌△QGM（AAS），

∴QK＝QM＝3t，PK＝PQ﹣QK＝5t﹣3t＝2t，

∴PG＝PK＝t，

∵PQ∥AC，

∴，

∴，

∴t＝ ．

如图4﹣2中，当CM平分∠QMP时，作CG⊥AB于G．

∵ACBC＝ABCG，

∴CG＝，AG＝，

∵∠CMG＝∠GCM＝45°，

∴CG＝GM＝，

∴AM＝9t＝，

解得t＝ ，

综上所述，满足条件的t的值为s或s．