Question

探究证明：
如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为直径，过点C作CD⊥AB于点D，设AD=a．BD=b．
（1）分别a，b表示线段OC，CD；
（2）探求OC与CD表达式之间存在的数量关系．（用含a，b的式子表示）．
归纳结论：
根据上面的观察计算、探究证明，你能得

a+b

2

与

ab

的大小关系是

a+b

2

≥

ab

．
实践应用：
要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．

Answer 1

分析：（1）求出∠ADC=∠BDC=90°，∠CAB=∠BCD，证△ADC∽△CDB，得出

CD

DB

=

AD

CD

，代入即可求出CD，求出AB，即可求出OC；
（2）分为两种情况：当O和D不重合时得出

a+b

2

＞

ab

，当O和D重合时得出

a+b

2

=

ab

，即可得出答案；设长方形镜框ABCD的长AD=a，宽AB=b，根据面积求出

ab

=1，根据

a+b

2

≥

ab

，求出a+b≥2，得出2（a+b）≥4，求出2（a+b）的最小值即可．

解答：探究证明：
解：（1）∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∴∠CBA+∠BCD=90°，∠CBA+∠CAB=90°，
∴∠CAB=∠BCD，
∴△ADC∽△CDB，
∴

CD

DB

=

AD

CD

，
即

CD

b

=

a

CD

，
CD=

ab

，
∵AB=AD+BD=a+b，
AB是⊙O直径，
∴半径OC=

1

2

AB=

a+b

2

；
即OC=

a+b

2

，CD=

ab

；

（2）∵当D和O不重合时，如图，在Rt△OCD中，OC＞CD，即

a+b

2

＞

ab

；
当D和O重合时，OC=CD，即

a+b

2

=

ab

，
∴OC与CD表达式之间存在的数量关系是

a+b

2

≥

ab

；
故答案为：

a+b

2

≥

ab

．


实践应用：
解：设长方形镜框ABCD的长AD=a，宽AB=b，
∵长方形镜框ABCD的面积是1平方米，
∴AB=CD=b，AD=BC=a，ab=1，
∴

ab

=1，
∵由以上结论可知：

a+b

2

≥

ab

，
∴

a+b

2

≥1，
即a+b≥2，
∴2（a+b）≥4，
即2（a+b）的最小值是4，
∵长方形镜框ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=2a+2b=2（a+b），
∴镜框周长的最小值是4．

点评：本题考查了勾股定理和相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．