Question

如图，在△ABC中，∠BAC、∠BCA的平分线相交于点I，若∠B=35°，BC=AI+AC，则∠BAC的度数为

1. A.
   60°
2. B.
   70°
3. C.
   80°
4. D.
   90°

Answer 1

B
分析：方法一：在BC上取CD=AC，连接BI、DI，然后利用边角边证明△ACI与△DCI全等，根据全等三角形对应边相等可得AI=DI，对应角相等可得∠CAI=∠CDI，再根据BC=AI+AC求出AI=BD，从而可得BD=DI，然后根据等角对等边的性质以及三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠CDI=2∠DBI，再根据角平分线的定义即可求出∠CDI=∠ABC，又∠BAC=2∠CAI，代入数据进行计算即可求解；
方法二：延长CA到D，使AD=AI，根据等边对等角可得∠D=∠AID，根据BC=AI+AC可得BC=CD，然后利用边角边证明△BCI与△DCI全等，根据全等三角形对应角相等可得∠D=∠CBI，再根据叫平分线的定义以及三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠CAI=2∠D=∠ABC，又∠BAC=2∠CAI，代入数据进行计算即可求解．
解答：解：方法一：如图1，在BC上取CD=AC，连接BI、DI，
∵CI平分∠ACB，
∴∠ACI=∠BCI，
在△ACI与△DCI中，，
∴△ACI≌△DCI（SAS），
∴AI=DI，∠CAI=∠CDI，
∵BC=AI+AC，
∴BD=AI，
∴BD=DI，
∴∠IBD=∠BID，
∴∠CDI=∠IBD+∠BID=2∠IBD，
又∵AI、CI分别是∠BAC、∠ACB的平分线，
∴BI是∠ABC的平分线，
∴∠ABC=2∠IBD，∠BAC=2∠CAI，
∴∠CDI=∠ABC，
∴∠BAC=2∠CAI=2∠CDI=2∠ABC，
∵∠B=35°，
∴∠BAC=35°×2=70°；
方法二：如图2，延长CA到D，使AD=AI，
∴∠D=∠AID，
∵BC=AI+AC，
∴BC=CD，
在△BCI与△DCI中，，
∴△BCI≌△DCI（SAS），
∴∠D=∠CBI，
∵AI、CI分别是∠BAC、∠ACB的平分线，
∴BI是∠ABC的平分线，
∴∠ABC=2∠CBI，
又∵∠CAI=∠D+∠AID=2∠D，
∠BAC=2∠CAI=2∠ABC，
∵∠B=35°，
∴∠BAC=2×35°=70°．
故选B．
点评：本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，全等三角形的判定与性质，利用“割补法”作辅助线构造全等三角形以便于利用条件“BC=AI+AC”是解决本题的关键，也是难点．