Question

3．如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥AB交BC于点E，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，且∠ABF=∠ABC．
（1）求证：AB=AC；
（2）若AD=4，cos∠ABF=$\frac{4}{5}$，求DE和CE的长．

Answer 1

分析 （1）连结BD，如图，由AD⊥AB，根据圆周角定理的推理可得BD为⊙O的直径，再根据切线的性质得∠DBA+∠ABF=90°，则利用等角的余角相等得∠D=∠ABF，根据圆周角定理有∠D=∠C，已知条件有∠ABF=∠ABC．所以∠C=∠ABC，于是根据等腰三角形的判定定理即可得到AB=AC；
（2）利用∠D=∠ABF可得cosD=cos∠ABF=$\frac{4}{5}$，在Rt△ABD中利用三角函数得定义可计算出BD=5，利用勾股定理可计算出AB=3，接着证明Rt△ABE∽Rt△ADB，利用相似比可计算出AE=$\frac{9}{4}$，BE=$\frac{15}{4}$，则DE=AD-AE=4-$\frac{9}{4}$=$\frac{7}{4}$，然后证明△EDB∽△ECA，则可利用相似比计算出CE．

解答 （1）证明：连结BD，如图，
∵AD⊥AB，
∴∠BAD=90°，
∴BD为⊙O的直径，
∵BF为⊙O的切线，
∴BD⊥BF，
∴∠DBA+∠ABF=90°，
∵∠DBA+∠D=90°，
∴∠D=∠ABF，
∵∠D=∠C，∠ABF=∠ABC．
∴∠C=∠ABC，
∴AB=AC；
（2）解：∵∠D=∠ABF，
∴cosD=cos∠ABF=$\frac{4}{5}$，
在Rt△ABD中，∵cosD=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{4}{5}$，
而AD=4，
∴BD=5，
∴AB=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∵∠ABC=∠D，
∴Rt△ABE∽Rt△ADB，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AB}{AD}$=$\frac{BE}{BD}$，即$\frac{AE}{3}$=$\frac{3}{4}$=$\frac{BE}{5}$，
∴AE=$\frac{9}{4}$，BE=$\frac{15}{4}$，
∴DE=AD-AE=4-$\frac{9}{4}$=$\frac{7}{4}$，
∵∠C=∠D，∠DBE=∠CAE，
∴△EDB∽△ECA，
∴$\frac{DE}{CE}$=$\frac{BE}{AE}$，即$\frac{\frac{7}{4}}{CE}$=$\frac{\frac{15}{4}}{\frac{9}{4}}$，
∴CE=$\frac{21}{20}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．