Question

14、从1，2，…，9中任取n个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被10整除，求n的最小值．

Answer 1

分析：先分析当n=4时，找不到若干个数的和能被10整除，再讨论n=5的情况，设a₁，a₂，，a₅是1，2，…，9中的5个不同的数．可得出a₁，a₂，…，a₅中必定有一个数是5．用反证法证明，推出矛盾，从而得出n的最小值为5．

解答：解：当n=4时，数1，3，5，8中没有若干个数的和能被10整除．（5分）
当n=5时，设a₁，a₂，，a₅是1，2，…，9中的5个不同的数．
若其中任意若干个数，它们的和都不能被10整除，则a₁，a₂，，a₅中不可能同时出现1和9；2和8；3和7；4和6．
于是a₁，a₂，…，a₅中必定有一个数是5．
若a₁，a₂，…，a₅中含1，则不含9．于是不含4（4+1+5=10），故含6；于是不含3（3+6+1=10），故含7；
于是不含2（2+1+7=10），故含8．但是5+7+8=20是10的倍数，矛盾．
若a₁，a₂，…，a₅中含9，则不含1．于是不含6（6+9+5=20），故含4；于是不含7（7+4+9=20），故含3；
于是不含8（8+9+3=10），故含2．但是5+3+2=10是10的倍数，矛盾．
综上所述，n的最小值为5．（15分）

点评：本题是一道竞赛题目，考查了抽屉原理，难度较大．