Question

（2012•闵行区二模）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F在边BC上，DE∥AB，AF∥CD，且四边形AEFD是平行四边形．
（1）试判断线段AD与BC的长度之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；
（2）现有三个论断：①AD=AB；②∠B+∠C=90°；③∠B=2∠C．请从上述三个论断中选择一个论断作为条件，证明四边形AEFD是菱形．

Answer 1

分析：（1）由题中所给平行线，不难得出四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，而四边形AEFD也是平行四边形，三个平行四边形都共有一条边AD，所以可得出BC=3AD的结论．
（2）可选择②作为证明条件，先证明DE=EF，然后结合四边形AEFD是平行四边形得出结论．

解答：解：（1）线段AD与BC的长度之间的数量为：BC=3AD．
证明：∵AD∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴AD=BE，
同理可证：四边形AFCD是平行四边形，即得：AD=FC，
又∵四边形AEFD是平行四边形，
∴AD=EF，
∴AD=BE=EF=FC，
∴BC=3AD．
（2）解：选择论断②作为条件．
证明：∵DE∥AB，
∴∠B=∠DEC，
∵∠B+∠C=90°，
∴∠DEC+∠C=90°，
即得∠EDC=90°，
又∵EF=FC，
∴DF=EF，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴四边形AEFD是菱形．

点评：本题考查了梯形、平行四边形的性质和矩形的判定，是一道集众多四边形于一体的小综合题，建议同学们平时学习中，重视一题多变，适当地变式联系，可以触类旁通．