Question

已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A，点G、E分别在线段AD、AB上．
（1）如图1，连接DF、BF，证明：BF=DF；
（2）若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，在旋转的过程中线段DF与BF的长还相等吗？若相等，请证明；若不相等，连接DG，在旋转的过程中，你能否找到一条线段的长与线段DG的长始终相等．并以图2为例说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据已知证明△DGF≌△BEF．
（2）观察DG的位置，找包含DG的三角形，要使两条线段相等，只要找到与之全等的三角形，即可找到与之相等的线段．
解答：（1）证明：∵四边形AEFG是正方形
∴GF=EF=AG=AE，∠DGF=∠BEF=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，
∴AD-AG=AB-AE，即DG=BE，
在△DGF和△BEF中，
，
∴△DGF≌△BEF（SAS）
∴BF=DF；           …5分

（2）BF=DF，连接BE，有BE=DG，
理由如下：
∵∠DAB=∠GAE=90°，
∴∠DAB-∠GAB=∠GAE-∠GAB，即∠DAG=∠BAE，
在△DAG和△BAE中，
，
∴△DAG≌△BAE（SAS），…9分
∴DG=BE．               …10分．
点评：①本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质以及全等三角形的判定，属于综合性的题目．
②本题是探究性试题，要求有比较高的逻辑思维．注意在平时的培养．